Расчёт статически определимой балки

,

Расчёт статически определимой

балки

Методическое пособие для выполнения расчётно-графической работы

«Расчёт статически определимой консольной балки на прочность и жёсткость»

Ставрополь -2006

Методическое пособие предназначено для студентов инженерных специальностей и используется при выполнении расчётно-графической работы «Расчёт статически определимой балки на прочность и жёсткость». Здесь в приводятся необходимые теоретические сведения по существу выполняемой работы. Представлен численный пример – образец выполнения этой работы, сопровождаемый соответствующими комментариями. Методическое пособие завершаются заданием, исходными данными для выполнения расчётно-графической работы и требованиями к её оформлению.

Рецензенты:

Лауреат Государственной премии СССР,

д. т.н., проф.

д. ф.-м. н., проф.

1. Краткая характеристика работы

Расчётно-графическая работа (РГР) состоит из двух частей. В первой части осуществляется расчёт на прочность статически определимой консольной балки, находящейся под действием поперечной нагрузки. Здесь строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, осуществляется подбор поперечного сечения балки оптимальной формы из условия прочности по нормальным напряжениям, осуществляется полная проверка прочности балки. Во второй части работы оценивается жёсткость запроектированной балки в пролёте и на консоли. Здесь вычисляются прогибы балки в указанных в задании точках, строится упругая линии и определяются максимальные прогибы в пролёте балки и на её консоли.

2. Сведения из теории

Прежде чем приступить к выполнению расчётно-графической работы необходимо вспомнить некоторые сведения из курса сопротивления материалов, относящиеся к основам теории изгиба балок

2.1 Объектом, рассматриваемым в настоящей работе, является балка, именно, консольная балка, то есть однопролётная балка, имеющая консоль.

Балкой называют прямой брус, имеющий опорные закрепления и работающий на изгиб под действием поперечной нагрузки. Плоским прямым изгибом балки определяется случай, когда балка имеет вертикальную плоскость симметрии, в этой плоскости действуют приложенные нагрузки и в этой же плоскости происходит изгиб оси балки. В РГР рассматривается именно этот случай.

Пролётом балки называется расстояние между её опорами.

2.2. Расчётной схемой балки определяется ось балки, как геометрическое место точек – центров тяжести поперечных сечений физической балки. К оси балки прикладываются нагрузки, ось балки опирается на опоры, создавая, таким образом, геометрически неизменяемую систему. Изогнутая, деформированная, ось балки называется упругой линией балки, а расстояние по вертикали между точками на деформированной и не деформированной осях балки называется прогибом балки

Далее считаем, что начало координат совпадает с левой опорой балки; ось Х совпадает с осью стержня и направлена в право; ось У, перпендикулярна оси 0Х, направлена в верх и размещается в плоскости чертежа; ось Z размещается в поперечном сечении балки и перпендикулярна плоскости чертежа.

2.3. Нагрузки, приложенные к балке, подразделяются на три вида:

- сосредоточенная сила величиной Р, кН;

- равномерно распределённая нагрузка интенсивности q, кН/м;

- сосредоточенный момент величиной М, кН·м.

2.4. Балка, рассматриваемая в РГР, имеет шарнирные опорные закрепления, именно шарнирную неподвижную опору и шарнирно подвижную опору. Шарнирно неподвижная опора исключает все линейные перемещения, допуская только угловое перемещение (поворот) сечения; шарнирно подвижная опора допускает как линейное, так и угловое перемещение.

В шарнирно неподвижной опоре возникает опорная реакция в виде сосредоточенной силы, проходящей через опорный шарнир. Эта реакция обычно представляется в виде двух компонент – горизонтальной и вертикальной составляющих.

В шарнирно подвижной опоре возникает опорная реакция, направленная по опорному стержню.

Если действуют вертикальные нагрузки и стержень шарнирно подвижной опоры направлен вертикально, то опорные реакции в шарнирных опорах тоже будут направлены вертикально. В балке из РГР таких опорных реакция будет всего две.

Кроме упомянутых выше шарнирных опор, существуют и другие виды опорных закреплений, в частности жёсткое защемление (консоль – балка с жёстким защемлением одного из её торцов).

2.5.. Для плоской системы параллельных сил существует только два линейно независимых уравнений равновесия. Удобно составлять эти уравнения в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно каждой из опор. В этом случае в каждом из уравнений будет фигурировать только одна из неизвестных реакций.

Уравнение равновесия балки в форме суммы проекций сил на ось 0У используется обычно для формальной проверки правильности найденных значений опорных реакций.

2.6. К внешним силам относят нагрузки, приложенные к балке (п. 2.3) и опорные реакции.

2.7. Гипотеза плоских сечений. Считается, что при изгибе балок справедлива гипотеза плоских сечений. Именно, любое поперечное сечение балки не деформируется, остаётся жёстким и при изгибе лишь поворачиваются относительно некоторой нейтральной оси z-z, проходящей в плоскости поперечного сечения.

2.8. При изгибе балки в её поперечных сечениях возникают внутренние силы: изгибающие моменты – МZ , кН·м и поперечные силы – QУ, кН Обычно индексы при М и Q, определяющие их действие, опускают, так как при плоском поперечном изгибе других внутренних сил не существует.

Поперечная сила в сечении балки имеет положительное направление, если равные между собой правая и левая поперечные силы в сечении образуют пару сил с вращением против часовой стрелки.

Изгибающим моментам в сечении знак не присваивается, однако направление их действия связывается со сжатыми (растянутыми) волокнами в крайних фибрах сечения.

2.9. Эпюрой называется график изменения некоторой характеристики Z. Для балок обычно строят эпюры поперечных сил Q и эпюры изгибающих моментов М.

Построение эпюр связано с методом сечений, применяемым для выявления внутренних сил и выяснения характера изменения этих сил. Балка рассекается сечением на две части, одна из которых отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется силами (внутренними), - поперечной силой Q и изгибающим моментом М.

В балке определяются, так называемые, грузовые участки. Это участки с непрерывным изменением нагрузки (функция нагрузки дифференцируема), влияющей на вид функций Q(х), или М(х).

2.9.1. Для построения эпюры поперечных сил необходимо выявить функциональную зависимость Q(х) на данном грузовом участке. Для этого проводят сечение на этом участке, отбрасывают какую-либо часть балки (обычно с преобладающей нагрузкой) и вводят положительно направленную поперечную силу (для левой части балки, направленной вниз, а для правой – вверх). Составляется уравнение равновесия рассматриваемой части балки в виде равенства нулю проекций всех сил, включая силу Q(x), на вертикальную ось 0У. Отсюда находят функциональное выражение поперечной силы Q(x) и приступают к изображению изменения этой силы на грузовом участке, придавая абсциссе х фиксированные значения. В РГР эпюра силы Q(x) может быть изображена в двух вариантах: это либо линейная функция в случае участка с распределённой нагрузкой, либо константа во всех остальных случаях.

Если значение поперечной силы, полученное из уравнения равновесия, имеет отрицательный знак, то исходное направление поперечной силы должно быть изменено на противоположно.

В точке приложения сосредоточенной силы Р на эпюре поперечных сил имеет место скачёк, равный величине этой силы.

2.9.2. Для построения эпюры изгибающих моментов необходимо выявить функциональную зависимость М(х) на данном грузовом участке. Производят сечение на этом участке, отбрасывают какую-либо часть балки (обычно с преобладающей нагрузкой) и вводят в сечении сосредоточенный момент, направленный таким образом, чтобы сжатыми оказались верхние волокна сечения. Для исключения ошибки в выборе направления изгибающего момента в сечении можно использовать «правило пальца», когда сжатая и растянутая кожа пальца определяется направлением приложенного к пальцу момента.

Уравнение равновесия отсечённой части составляется в виде равенства нулю суммы моментов всех приложенных сил относительно сечения оси балки. Отсюда находят функциональное выражение изгибающего момента М(x) и приступают к его изображению на соответствующем грузовом участке, придавая абсциссе х фиксированные значения. В РГР эпюра М(х) может быть изображена в двух вариантах: это либо квадратная парабола в случае участка с распределённой нагрузкой, либо линейная функция, включая константу, во всех остальных случаях.

Если эпюра изгибающих моментов размещается на сжатых волокнах балки, то справедливо привило «антипаруса», то есть действие распределённой нагрузки и выпуклость эпюры моментов (паруса) направлены в противоположные стороны.

В точке приложения сосредоточенной силы Р на эпюре моментов изменяется направление, то есть в этой точке у функции (графика) изгибающих моментов одновременно существую две производных – правая и левая

В точке приложения сосредоточенного момента М на эпюре изгибающих моментов имеет место скачок, численно равный величине этого момента.

2.9.3. Дифференциальные зависимости при изгибе выводятся из условий равновесия элемента балки длинной dx.

При принятой системе координат (п. 2.2), положительном (вверх) направлении нагрузки q(x) и сжатых верхних волокон балки получим следующие дифференциальные зависимости:

,(2.1)

, (2.2)

или, объединяя оба эти выражения:

. (2.3)

Интегрирование дифференциальных выражений приводит к следующим интегральным выражениям:

, (2.4)

, (2.5)

или, объединяя, получим:

. (2.5)

Здесь С1 и С2 – постоянные интегрирования.

В РГР на грузовых участках действует распределённая нагрузка постоянной интенсивности q(x) = const = q, в том числе и q = 0, поэтому из уравнений (2.1) – (2.5) следует:

- при q(x)=0

, (2.6)

, (2.7)

то есть поперечная сила суть постоянная величина, а изгибающий момент – линейная функция;

- при q(x)=q = const

, (2.8)

, (2.9)

то есть поперечная сила суть линейная функция, а изгибающий момент – квадратная парабола.

Из формулы (2.2) следует, что если эпюра поперечных сил пересекает ось эпюры (Q(x) = 0 в точке пересечения), то значение изгибающего момента в этой же точке будет иметь экстремальное значение (необходимое условие экстремума).

2.10. Под действием внешней нагрузки в балке возникают напряжения – внутренние силы, действующие по элементарным площадкам. При изгибе, в поперечном сечении, возникает два вида напряжений: нормальные σ и касательные τ. Нормальные напряжения действуют по нормали к площадке, а касательные – в плоскости площадки. Нормальные и касательные напряжения измеряются в Паскалях (Па), 1 Па = 1 H/м2.

Для балки симметричного сечения при плоском изгибе и нормальные и касательные, напряжения меняются по высоте сечения и остаются одинаковыми в точках сечения при постоянной ординате.

2.10.1. Нормальные напряжения в сечении балки при изгибе определяются выражением:

, (2.10)

Здесь М(х) – изгибающий момент в сечении с абсциссой х; у – ордината точки поперечного сечения, в которой определяется σ; IZ, м4 – осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно оси z - z

Если поперечное сечение балки высотой h имеет две оси симметрии - вертикальную y и горизонтальную z (именно этот случай рассматривается в РГР), то максимальное и минимальное нормальные напряжения возникают в крайних фибрах поперечного сечения (при y =± h/2) и будут одинаковыми по модулю. То есть

, (2.11)

здесь , м3 – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки.

2.10.2. Касательные напряжения в точке поперечного сечения балки при изгибе определяются формулой Журавского:

, (2.12)

где Q(x) - значение поперечной силы в сечении балки с абсциссой х; , м3 - статический момент отсечённой части поперечного сечения с ординатой y относительно оси z-z; - ширина поперечного сечения балки при ординате у; - осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно оси z-z.

Максимальная величина касательного напряжения определяется наибольшим значением статического момента и наименьшим значением ширины поперечного сечения .

2.11. Сечение балки подбирается из условия прочности по нормальным напряжениям. Именно, максимальные значения нормальных напряжений, возникающих в балке (максимальный изгибающий момент определяется по эпюре моментов), не должны превышать допускаемых нормальных напряжений [σ]:

, (2.13)

отсюда определяется наименьшее (из возможных) значение момента сопротивления:

, (2.14)

по величине которого и подбирается требуемое поперечное сечение, например, из двутавра по сортаменту прокатных профилей (см. Приложение, таблица 1). Прокатный двутавр является наиболее оптимальным балочным профилем, так как большая часть материала двутавра сосредоточена в его полках, где как раз и возникают наибольшие нормальные напряжения.

2.12. Если задано поперечное сечение балки, построена эпюра изгибающих моментов и определено максимальное значение – Мmax, то проверка прочности по нормальным напряжениям проводится согласно формулы (2.13).

Полная проверка прочности, кроме проверки по нормальным напряжениям, включает проверку прочности по касательным напряжениям и проверку прочности при совместном действии нормальных и касательных напряжений в точке.

Для проверки прочности по касательным напряжениям по эпюре поперечных сил определяется максимальное значение Qmax (обычно на опоре балки) и по формуле Журавского при заданном допускаемом напряжении [τ]осуществляется эта проверка:

. (2.15)

Случай проверки прочности при совместном действии нормальных и касательных напряжений реализуется таким образом. По эпюрам изгибающих моментов и поперечных сил определяются такие сечения (одно, два или три), где изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают достаточно больших значений. Далее в поперечном сечении балки определяют точку, где также одновременно велики нормальные и касательные напряжения (для двутавра эта точка находится в месте сопряжения полки и стенки) и находят эти напряжения по формулам (2.10) и (2.12) . Наконец, выбирается рекомендуемая гипотеза прочности и осуществляется эта проверка. Для изделий из малоуглеродистой стали (балочные профили), это – третья гипотеза прочности (наибольших касательных напряжений):

(2.16)

или четвёртая гипотеза прочности (энергетическая – наибольшей энергии деформации формоизменения):

(2.17)

2.13. Дифференциальное уравнение поперечного изгиба статически определимой балки постоянной жёсткости имеет вид:

, (2.18)

здесь , Н·м2 - жёсткость сечения балки при изгибе, , Па - модуль упругости, - осевой момент инерции, у(х) – прогиб балки, М(х) - изгибающий момент.

Знак (+) или (-) в уравнении (2.18) ставится в соответствии со знаком кривизны балки в точке, то есть в зависимости от принятого знака изгибающего момента и направления оси у. Если считать положительным направление изгибающих моментов при сжатии верхних волокон, а ось у направить вверх, то знак в уравнении (2.18) будет положительным.

Последовательное интегрирование уравнения (2.18) приводит к выражениям функции углов поворота (2.19) и функции прогиба (2.20), определённых на участке с постоянной жёсткостью и при дважды дифференцируемой функциии изгибающего момента М(х):

, (2.19)

, (2.20)

где D1 и D2 – постоянные интегрирования, определяемые из кинематических (по линейному и угловому перемещениям) граничных условий.

Проинтегрированное выражение (2.20) с найденными граничными условиями носит название упругой линии балки.

Граничные условия балки определяются её закреплениями. В месте жёсткого закрепления балки, в случае жёсткой заделки, равны нулю её прогиб и угол поворота её сечения. В случае шарнирного опирания как это имеет место в РГР, равны нулю прогибы балки на каждой из ей опор. При стыковании двух грузовых участков балки, в качестве граничных формируются условия гладкости упругой линии в месте стыка. Именно, составляются уравнения равенства прогибов и углов поворота на стыке обеих частей.

2.14. При определённых условиях уравнение упругой линии может быть представлено для любого участка балки в следующей формализованной стандартной форме:

, (2.21)

в таком виде уравнение (2.21) носит название – универсального уравнения упругой линии балки. Здесь и прогиб и угол поворота сечения балки в начале координат (в РГР это левая опора), эти начальные параметры определяются из условий закрепления балки; М, Р и q – элементы нагрузки балки, соответственно, сосредоточенные момент и сила, а также интенсивность равномерно распределённой нагрузки; символом с для к-ой нагрузки обозначена разность ск = х – ак, где ак обозначено расстояние от к-ой нагрузки до начала координат, а х – абсцисса сечения. Подчеркнём, что действующая распределённая нагрузка q не обрывается, а для учёта её фактической конечности к балке прикладывается компенсирующая нагрузка противоположного направления

Дифференцируя выражение (2.21) один раз получим универсальное уравнение углов поворота (2.22) в аналогичной форме:

. (2.22)

Для построения линии прогибов в РГР достаточно использовать только уравнение (2.21).

2.15. Проверка жёсткости балки осуществляется сравнением относительной величины максимального прогиба балки с некоторым нормативным значением, принимаемым в зависимости от назначения балки. Относительный прогиб балки определяется отношением величины максимального прогиба fmax к длине пролёта балки (длине консоли) l. Нормативное значение относительного прогиба балки [f/l] меняется в пределах примерно от 1/100 до 1/500. Условие жёсткости балки принимает вид:

. (2.23)

В РГР принято [f/l] = 1/400.

3. Пример выполнения РГР

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение

Ставропольский государственный аграрный университет

Факультет механизации сельского хозяйства

Кафедра технологий и сопротивления материалов

Расчётно – графическая работа №2

Расчёт статически определимой

консольной балки на прочность и жёсткость

(шифр 49089 )

Выполнил:

студент 2-го курса ….-й групп

пы

факульте

та……………………….

……………………………………

Проверил:

………………………..

Ставрополь, 20.. г.

Задание

Для заданной статически определимой, однопролётной консольной стальной балки требуется:

1. Определить опорные реакции;

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3. Из условия прочности при изгибе и одинаковом допускаемом напряжении на растяжение и сжатие подобрать следующие поперечные сечения балки: круг, квадрат, прямоугольник с размерами h · 3h, два швеллера, двутавр; сравнить найденные сечения по массе и выбрать оптимальную форму сечения балки;

4. Произвести полную проверку прочности двутавровой балки:

4.1. По нормальным напряжениям;

4.2. По касательным напряжениям;

4.3. По 3-й и 4-й гипотезам прочности.

5. Построить упругую линию балки, вычислив прогибы балки для начала, конца и середины каждого грузового участка и проверить жёсткость балки в пролёте балки и на её консоли, по величинам относительных прогибов fmax/l.

Указание к п.6. Максимальные прогибы f max в пролёте и на консоли определить измерениями по графическому изображению линии прогибов.

Допускаемое напряжение на растяжение и сжатие составляет значение [σ] = 160 МПа;

- допускаемое касательное напряжение составляет значение [τ] = 80 МПа;

- модуль упругости стали равен Е=2, 06·105 МПа;

- допускаемая величина относительного прогиба равна [fmax/l]=1/400.

Исходные данные

F1, кН	F2, кН	М1, кН·м	М2, кН·м	М3, кН·м	М4, кН·м
вел.	знак	вел.	знак	вел.	знак	вел.	знак	вел.	знак
20	-	15	+	5	5	-	10	-	13	+
4	9	0	8	9	4	9	0	8	9	4

q1, кН/м	q2, кН/м	q3, кН/м	l, м	a	b
вел.	знак	вел.	знак	вел.	знак
6	-	2	*	5	-	5	0,24	0,30
9	0	8	9	4	9	0	8	9

Примечание: в последней строке исходных данных в соответствующих столбцах размещается цифры шифра студента. (В представленном примере исполнения РГР цифры шифра и исходные данные могут не соответствовать друг другу).

1. Определение опорных реакций

Рис. 1

В исходной балке (рис.1) направим опорные реакции RA и RB вверх и из уравнений равновесия балки, в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на балку (и ), относительно опорных шарниров RA и RB .

Примечание. Здесь и везде далее для удобства проверки сохраняется следующий порядок записи слева - направо: сосредоточенные моменты – сосредоточенные силы - распределённая нагрузка

:

5кН·м - 5кН·м – 10кН·м + 13кН·м + 20кН·1,2 м - RB· 5 м – 13кН· 6,5 м +

+ 6кН/м·1,2м·0,6м -2 кН/м·3,8м·3,1м + 5 кН/м·1,5м·5,75м = 0.

Отсюда после выполнения необходимых операций следует:

RB= - 6,72 кН.

Знак минус здесь говорит о том, что первоначально принятое направление опорной реакции RB следует изменить на противоположное. Поэтому на рис.1 внесены изменения, именно, крестообразно зачёркнута направление (стрелка) вверх и введено направление (стрелка) вниз.

:

5кН·м - 5кН·м – 10кН·м + 13кН·м+ RA · 5 м - 20кН·3,0 м -– 13кН· 1,5 м -

- 6кН/м·1,2м·4,4м +2 кН/м·3,8м·1,9м + 5 кН/м·1,5м·0,75м = 0.

Отсюда после выполнения необходимых операций следует:

RA = 20,82 кН.

После определения обеих реакций производим арифметическую проверку правильности найденных значений путём проектирования всех действующих сил, включая опорные реакции, на ось У. Отсутствие ошибок в вычислении должно привести к равенству: , в чём нетрудно убедиться:

20,82 кН - 20кН - 6,72 кН.+ 13кН -

- 6кН/м·1,2м + 2 кН/м·3,8м - 5 кН/м·1,5м= 0.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов;

Для построения эпюр внутренних сил определим грузовые участки и воспользуемся методом сечений. На рис. 1 показаны сечения 1-1, 2-2 и 3-3, проведённые на соответствующих грузовых участках.

2.1. Сечение 1-1. Проведём это сечение, отбросим правую часть балки и заменим её действие внутренними силами (рис.2).

Рис. 2

Поперечную силу Q1 направим в положительную сторону, а изгибающий момент М1 направим таким образом, чтобы сжатыми в месте сечения оказались верхние волокна балки. Из рис. 1 следует, что координата х лежит в интервале:

.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:

20,82 кН – 6 кН/м·x - Q1 = 0.

Отсюда следует:

Q1 = 20,82 кН – 6 кН/м·x, (1)

то есть в отмеченном интервале эпюра Q1– линейная функция со значениями:

при х=0,

Q1 = 20,82 кН;

при х=1,2 м,

Q1 = 20,82 кН– 6 кН/м·1,2м = 13,62 кН.

Эта часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 1-1, - имеет вид:

5кН·м – М1 + 20,82 кН·x - 6 кН/м·x·0,5·х =0.

Отсюда следует:

М1 = 5кН·м + 20,82 кН·x - 6 кН/м·x ·x·(х/

то есть в отмеченном интервале это уравнение квадратной параболы со значениями:

при х=0,

М1 = 5кН·м;

при х=1,2 м,

М1 = 5кН·м + 20,82 кН·1,2м– 6 кН/м·1,22м/2 = 25,66 кН·м..

Эта часть эпюры изгибающих моментов изображена на Рис. 6. Здесь не вычислялась промежуточная ордината эпюры, так как, судя по эпюре поперечных сил, внутри интервала нет экстремума, а направление выпуклости определяем по правилу «антипаруса».

В заключении пункта 2.1. убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на первом участке. Для этого продифференцируем выражения (1) и (2):

dQ1/dx =d(20,82 кН – 6 кН/м·x)./dx = – 6 кН/м;

dМ1/dx =d(5кН·м + 20,82 кН·x - 6 кН/м·x ·x·(х/2))./dx = 20,82 кН – 6 кН/м·x.

2.2. Сечение 2-2. Здесь тоже отброшена правая часть балки. Левая часть вместе с внутренними силами Q2 и М2 представлена на рис. 3.

Рис. 3

Из рис. 1 следует, что координата х лежит в интервале:

.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:

20,82 кН – 20 кН - 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ) – Q2 = 0.

Отсюда следует:

Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ), (3)

то есть в отмеченном интервале эпюра Q2– линейная функция со значениями:

при х=1,2м,

Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м = - 6,38 кН;

при х=5 м,

Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·3,8м = 1,22 кН.

Эта часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5.

Заметим, что эпюра пересекла ось, в точке пересечения Q2 = 0, то есть в этой точке на эпюре моментов следует ожидать экстремального значения. Поэтому имеет смысл для дальнейшего определить абсциссу точки пересечения. Обозначим расстояние от начала участка 2 (х=1,2м) до точки пересечения эпюры Q2 с осью символом d, тогда расстояние от точки пересечения эпюры Q2 с осью до конца участка 2 (х=5м) будет (3.8м – d). Ось и сама эпюра Q2 образуют на участке 2 образуют два подобных прямоугольных треугольника с катетами d и 6,38 кН для левого треугольника и (3.8м – d) и 1,22 кН для правого треугольника. Из условия подобия этих треугольников:

получим уравнение

24,24 м – 7,6d = 0

и искомое значение d = 3,19 м. Это расстояние показано на рис. 5.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 2-2, - имеет вид:

5кН·м - 5кН·м – М2 + 20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м) - 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+ + 2кН/м·(x – 1,2м)2/2 = 0.

Отсюда следует:

М2 = 20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м) - 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+2кН/м·(x -1,2м)2/2. (4)

В отмеченном выше интервале это квадратная парабола. Вычислим её значение в трёх точках интервала: в начале, при х= 1,2 м; в конце, при х= 5 м и в точке экстремума при х= 4,39 м.

При х= 1,2 м:

М2 = 20,82 кН·1,2 м - 6 кН/м·1,2 м · 0,6 м = 20,66 кН·м;

при х= 5 м:

М2=20,82 кН·5м -20 кН·3,8 м–6 кН/м·1,2 м · 4,4 м+2кН/м·(3,8м)2/2.=10,88кН·м.;

при х= 4,39 м:

М2 = 20,82 кН·4,39м - 20 кН· 3,19 м - 6 кН/м·1,2 м · 3,79 м+2кН/м·(3,19м)2/2= =.10,44кН·м.;

Построение квадратной параболы осуществлено по трём найденным ординатам. Эта часть эпюры изгибающих моментов на втором грузовом участке представлена на Рис. 6.

В заключении пункта 2.2. убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на втором участке. Для этого продифференцируем выражения (3) и (4):

dQ2/dx =d(20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ))/dx = 2 кН/м;

dМ2/dx =d(20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м) - 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+2кН/м·(x -1,2м)2/2)./dx = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м )

2,3. Сечение 3-3. Здесь отброшена левая часть балки. Правая часть балки вместе с внутренними силами Q3 и М3 представлена на рис. 4. Заметим, что положительное направление поперечной силы Q3 есть направление вверх, а направление изгибающего момента М3 отвечает сжатию верхних волокон балки.

Рис. 4

Из рис. 1 следует, что координата х для третьего грузового участка лежит в интервале:

.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:

Q3 + 13 кН – 5 кН/м·(6,5м-x) = 0.

Отсюда следует:

Q3 = -13 кН + 5 кН/м·(6,5м-x), (5)

то есть в отмеченном интервале эпюра Q3– линейная функция со значениями:

при х= 5м,

Q3 = -13 кН + 5 кН/м·1,5м = - 5,5 кН ;

при х=6,5 м,

Q3 = - 13 кН.

Эта, последняя часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5, таким образом, эпюра поперечных сил полностью построена.

Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 3-3, - имеет вид:

М3 + 13кН·м – 13 кН· (6,5м-x) + 5 кН/м·(6,5м-x)2./2 =0.

Отсюда следует:

М3 = -13кН·м + 13 кН· (6,5м-x) - 5 кН/м·(6,5м-x)2./2, (6)

то есть в отмеченном интервале это квадратная парабола со значениями:

при х=5 м,

М3 = -13кН·м + 13 кН· 1,5м - 5 кН/м·(1,5м)2./2 = 0,88 кН·м;

при х=6,5 м,

М3 = -13кН·м .

Эта последняя часть эпюры изгибающих моментов изображена на Рис. 6. Здесь, как и в первом сечении, не вычислялась промежуточная ордината эпюры, так как, судя по эпюре поперечных сил, внутри интервала нет экстремума, а направление выпуклости определяется по правилу «антипаруса».

В заключении пункта убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на третьем участке. Продифференцируем выражения (5) и (6):

dQ2/dx =d(-13 кН + 5 кН/м·(6,5м-x))/dx = -5 кН/м;

dМ2/dx =d(-13кН·м + 13 кН· (6,5м-x) - 5 кН/м·(6,5м-x)2./2)./dx = -13 кН + 5кН/м·(6,5м-x)

Примечание. При отсутствии надлежащего обоснования, для построения квадратной параболы на грузовом участке необходимо определять три значения ординат – по концам и в середине участка.

Рис. 5

Рис.6

Проверим правильность построения эпюр (рис 5 и 6):

- все скачки на эпюрах соответствуют величинам и направлениям действия сосредоточенных нагрузок – сосредоточенным силам на эпюре поперечных сил и сосредоточенным моментам на эпюре изгибающих моментов;

- по характеру изменения эпюр видно, что дифференциальные зависимости между изгибающими моментами и поперечными силами выполняются на каждом из участков.

Таким образом, представленные расчёты и выполненные проверки дают основания считать, что эпюра поперечных сил (рис.5) и эпюра изгибающих моментов (рис.6) построены без ошибок.

3. Подбор поперечных сечений балки. Оптимальная форма сечения.

. Из условия прочности при изгибе и одинаковом допускаемом напряжении на растяжение и сжатие [σ] = 160 МПа необходимо подобрать поперечные сечения балок требуемых форм, сравнить их по массе и выбрать оптимальную форму сечения балки. Наибольшее значение изгибающего момента рассматриваемой балки (рис.3) равно Mmax= 25,66 кН·м. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

отсюда следует выражение для требуемого момента сопротивления Wz:

, (7)

из которого определяются геометрические параметры требуемого сечения..

a) Круглое сечение. Осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения диаметра D имеет вид:

,

подставляя в формулу (7), получим:

.

Площадь поперечного сечения составит:

.

b) Квадратное сечение. Осевой момент сопротивления для квадратного поперечного сечения со стороной h имеет вид:

,

подставляя в формулу (7), получим:

.

Площадь поперечного сечения составит:

.

с) Прямоугольное сечение со сторонами h·3h. Максимальный осевой момент сопротивления для прямоугольного поперечного сечения со сторонами h·3h имеет вид:

,

подставляя в формулу (7), получим:

.

Площадь поперечного сечения составит:

.

d) Сечение из двух швеллеров. Определяем требуемый момент сопротивления для двух швеллеров, стыкуемых стенками, по формуле (7):

.

Для одного швеллера момент сопротивления составит 80,19 см3. По сортаменту прокатных профилей выбираем ближайший (с не меньшим моментом сопротивления) швеллер. Таковым будет швеллер №16 с моментом сопротивления Wz= 93,4см3 и площадью – Aш=18,1 см2.

Площадь поперечного сечения двух швеллеров Ad составит:

Ad= 2·18,1 см2= 36,2 см2.

e) Сечение из двутавра. Имея величину требуемого момента сопротивления (160,38см3), подбираем по сортаменту подходящий двутавр. Им оказался двутавр №20 со следующими характеристиками: моментом сопротивления Wz= 184см3 и площадью поперечного сечения

Aе= 26,8 см2.

Сравнение всех полученных поперечных сечений по массе, для изделий постоянного поперечного сечения и выполненных из одного материала, может быть заменено сравнением их площадей. Наиболее эффективной формой поперечного сечения, очевидно, будет форма с наименьшей площадью, каковой и является площадь поперечного сечения прокатного двутавра, проектируемого ещё в 19в. специально как балочного профиля.

Все полученные поперечные сечения для визуального сравнения их эффективности с точки зрения изгиба изображены в масштабе на рис. 7.

Рис. 7

4. Полная проверка прочности двутавровой балки

Рис. 8

Для подобранного сечения (двутавр№ 20) выпишем из сортамента необходимые геометрические характеристики, ориентируясь на буквенные обозначения идеализированного двутавра (рис. 8): h = 20 см; b = 10 см; d = 0,52 см; t = 0,84 см; Iz = 1840 см4; Wz = 184 cм3; Sz = 104 см3.

4.1. Проверка прочности по нормальным напряжениям. Производится для сечения с наибольшим значением изгибающего момента. В рассматриваемой балке это сечение с координатой 1.2 м, где изгибающий момент равен 25,66 кН·м.

.

Недонапряжение (запас прочности по нормальным напряжениям) составляет:

4.2. Проверка прочности по касательным напряжениям. Производится для сечения с наибольшим значением поперечной силы. В балке это поперечная сила в сечении на опоре А, равная 20,82 кН. Наибольшие касательные напряжения возникают в середине стенки двутавра и определяются по формуле Журавского. Условие прочности записывается таким образом:

,

что говорит о почти четырёхкратном запасе прочности по касательным напряжениям.

4.3. Проверка прочности по третьей и четвёртой гипотезам. Для этих проверок выбираются сечения балки с достаточно большими поперечной силой и изгибающего момента и точка в поперечном сечении с достаточно большими касательным и нормальным напряжениями. Точка в поперечном сечении балки выбирается тоже с достаточно большими нормальными и касательными напряжениями. Для двутавра – это точка «с», точка соединения стенки и полки с напряжениями σс и τс (рис.8).

4.3.1. По третьей гипотезе прочности проверим сечение балки с характеристиками М =25,66 кН·м и Q=13,62кН (х=1.2м). Определим напряжения σс и τс:

;

.

В соответствии с 3-й гипотезой прочности (наибольших касательных напряжений) получим:

4.3.2. По четвёртой гипотезе прочности проверим сечение балки с характеристиками М =5 кН·м и Q =20,82 кН (х = 0). Определим напряжения σс и τс:

.

В соответствии с 4-й гипотезой прочности (наибольшей энергии формоизменения) получим:

Таким образом, произведена полная проверка прочности балки, показавшая её пригодность к эксплуатации при заданной нагрузке.

5. Расчёт балки на жёсткость

5.1. Для построения упругой линии балки, вычислим прогибы балки для начала, конца и середины каждого из грузовых участков. Воспользуемся для этого методом начальных параметров, именно, универсальным уравнением упругой линии балки:

. (8)

Для осуществления процесса формирования слагаемых уравнения (8) в части учёта первоначально заданных равномерно распределённых нагрузок, последние представлены на рисунке 9 так, как это требуется в методе начальных параметров. Именно, исходная нагрузка продолжается до конца балки, а в месте её фактического окончания прикладывается непрерывная нагрузка, равная исходной по величине и обратная по направлению (на рис.8 показана пунктиром).

Необходимо записать уравнение (8) в физических величинах и определить начальные параметры у0 и у/0 . Очевидно, что прогиб балки в начале координат, на опоре А равен нулю, то есть первый начальный параметр у0 = 0. Угол поворота сечения балки в начале координат у/0 определяется из условия равенства нулю прогиба балки на другой опоре - В.

Рис. 9

Для определения начального параметра у/0 потребуем равенства нулю уравнения (8) при x = 5м: , или

,

откуда следует: .

На рисунке 10 буквами a, b, c, d и e обозначены точки, определяющие грузовые участки и их середины. Например, точка a отвечает середине первого участка, точка b – сечению первого и второго участков и так далее. Этими же буквами будем обозначать вычисления соответствующих прогибов.

a).

;

b).

;

с).

d).

;

е).

По вычисленным прогибам на рис. 10 в масштабе вычерчена упругая линия балки.

Рис. 10

5.2. После построения упругой линии балки можно примерно с той же точностью определить максимальные прогибы в пролёте балки и на её консоли графоаналитическим способом. Проведём параллельно оси х-х касательные к линии прогибов в пролёте и на консоли и, измерив расстояния от оси до точек касания, определим их численные значения. Оказалось:

для пролёта ;

для консоли .

Проверим жёсткость балки в пролёте балки и на её консоли, по величинам относительных прогибов fmax/l:

для пролёта ,

для консоли .

Видно, что на консоли требования жёсткости не выполняются, поэтому сечение балки должно быть пересмотрено в сторону увеличения и подобрано из условий удовлетворения требуемой жёсткости но консоли.

4. Задание для выполнения РГР

4.1. Для заданной статически определимой, однопролётной консольной стальной балки требуется:

4.1.1 Определить опорные реакции;

4.1.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

4.1.3. Из условия прочности при изгибе и одинаковом допускаемом напряжении на растяжение и сжатие, подобрать следующие поперечные сечения балки: круг, квадрат, прямоугольник с размерами h · 3h, два швеллера, двутавр; сравнить найденные сечения по массе и выбрать оптимальную форму сечения балки;

4.1.4. Произвести полную проверку прочности двутавровой балки:

- по нормальным напряжениям;

- по касательным напряжениям;

- по 3-й и 4-й гипотезам прочности.

4.1.5. Построить упругую линию балки, вычислив прогибы балки для начала, конца и середины каждого грузового участка и проверить жёсткость балки в пролёте балки и на её консоли, по величинам относительных прогибов fmax/l.

Указание к п.4.1.6. Максимальные прогибы f max в пролёте и на консоли определить измерениям по графическому изображению линии прогибов.

4.2. Допускаемое напряжение на растяжение и сжатие составляет значение [σ] = 160 МПа;

- допускаемое касательное напряжение составляет значение [τ] = 80 МПа;

- модуль упругости стали равен Е=2, 06·105 МПа;

- допускаемая величина относительного прогиба равна [fmax/l]=1/400.

4.3. Геометрическая схема балки для всех заданий одинакова.

Все нагрузки, представленные на схеме балки, имеют положительное направление.

Индивидуальности состава задания отвечают величины и направления действующих нагрузок и линейные размеры балки, определяемые с помощью индивидуального шифра.

Каждому студенту присваивается свой пятизначный шифр. Каждая цифра шифра размещается по порядку под соответствующим столбцом задания. Шифр записывается подряд четыре раза и охватывает все двадцать столбцов задания. Каждому номеру шифра столбца отвечает такой же номер строки, на их пересечении размещается элемент исходной информации задания. Например, шифр составляет значение 45076, тогда под всеми двадцатью столбцами задания будем иметь такую череду цифр -0-7-6.

Первая цифра 4 принадлежит первому столбцу задания, относящемуся к сосредоточенной силе F1, величина этой силы отвечает строке с той же цифрой 4. Таким образом, F1 = 20 кН. Иначе говоря, искомая величина находится на пересечении столбца и строки, определяемыми цифрой 4.

Вторая цифра шифра 5 принадлежит второму столбцу задания и относится к знаку силы F1. Знак силы – «минус» определяется вторым столбцом и строкой с цифрой 5 и так далее.

4.4. Расчётно-графическая работа выполняется на листах белой бумаги формата А4 с полями (2,0см – левое, 1,5см – правое, 1,5см верхнее и нижнее), пронумеровывается, начиная со второго листа (первый лист – титульный не нумеруется), и сшивается в брошюру. Текст и формулы пишутся рукой, титульный лист может быть выполнен на компьютере (см. п.3).Схемы и эпюры чертятся карандашом, в изображениях эпюр соблюдается масштаб. Необходимый комментарий представляется в соответствии с приведённым «Примером выполнения РГР». В результатах вычислений (с округлениями по Гауссу) приводятся две значащих цифры после запятой, например: вычислено значение 4, приводится в тексте 4,45; вычислено 0,0345500 приводится 0,035 и так далее.

Литература

1. , , Державин материалов, - М.: Высшая школа, 19с.

2. Беляев материалов, – М.: Наука, 1965.856с.

3. , Петров материалов, Простые виды нагружения и элементарные задачи. – Новочеркасск: изд-во ЮРГТУ, 20с.

4. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов, – М.: Высшая школа. 19с.

5. , , Лобейко материалов, краткий именной и терминологический словарь, - Ставрополь: Агрус, 20с.

6. и др. Сопротивление материалов, – Киев: Вища школа. 19с.

7. Стёпин материалов.- М.: Высшая школа, 19с.

Содержание

1. Краткая характеристика работы …………………….

2. Сведения из теории …………………………………

3. Пример выполнения РГР ………………………….

4. Задание для выполнения РГР ………………………………….

5. Приложение – сортамент прокатных профилей…………..

Компьютерная графика