Сопротивление материалов (стр. 1 )

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ЧАСТЬ 3

Санкт-Петербург

2002

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет

___________________________________________________________

Кафедра сопротивления материалов

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных

работ для студентов всех специальностей и форм обучения

ЧАСТЬ 3

Задачи № 28–38

Под редакцией д-ра техн. наук, проф.

Санкт-Петербург

2002

УДК 539.3/8(07)

Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 3./ ; СПбГАСУ. СПб., 2002. с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по 3 темам: "Сложное сопротивление", "Устойчивость", "Расчет на динамическую нагрузку". Решение задач снабжено подробными объяснениями.

Ил.. Табл.. Библиогр. назв.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения);

д-р техн. наук, проф. (Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий)

© , 2002

© Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет, 2002

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

В процессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в методических указаниях [4], по которым студенты выбирают схемы решаемых задач.

В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать в каких единицах вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов.

Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний преподавателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетно-проектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нагрузки:

F – сосредоточенная сила, кН;

M – сосредоточенная пара сил (момент), кН×м;

q – интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

x – продольная ось стержня;

y, z – главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

A – площадь поперечного сечения, см2;

Sy, Sz – статические моменты относительно осей , см3;

Iy, Iz – осевые моменты инерции относительно осей , см4;

Ip – полярный момент инерции, см4.

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН;

My , Mz, (M) – изгибающие моменты кН×м;

Mк – крутящий момент, кН×м.

Напряжения:

sx, sy, sz, (s) – нормальные напряжения, МПа;

txy, tyz, tzx, (t) – касательные напряжения, МПа;

s1, s2, s3, (sгл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

ex, ey, ez, (e) – относительные продольные деформации;

gxy, gyz, gzx, (g) – угловые деформации (углы сдвига);

– абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (перемещение точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

j – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

q – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

sпц – предел пропорциональности, МПа;

sт – предел текучести, МПа;

sв – временное сопротивление (для хрупких материалов – предел прочности при растяжении, – предел прочности при сжатии), МПа;

[s], [t] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

n – коэффициент Пуассона;

a – коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

5. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 6 (§ 6.5, § 6.6), Гл.4.

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977, Гл. 7, Гл. 15.

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 9.

Основные понятия и формулы

Сложное сопротивление – такой вид деформации, при котором в стержне могут возникнуть все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяются, как обычно, методом сечений. При построении эпюр внутренних усилий правила знаков для продольной силы и крутящего момента используем те же, что и раньше. Для изгибающих моментов принимается другое правило знаков, а именно, изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растягивающие напряжения в положительном квадранте (т. е. в том квадранте, где координаты и ). Поперечная сила считается положительной, если она направлена по направлению оси (или ) и действует в сечении, внешняя нормаль к которому совпадает по направлению с осью . Рис. 5.1 поясняет правила знаков для всех внутренних усилий.

Рис. 5.1. Правила знаков для внутренних усилий в задачах сложного сопротивления

От действия всех внутренних усилий в поперечном сечении стержня возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения связаны с действием продольной силы и изгибающих моментов и определяются в любой точке поперечного сечения[1] по формуле

(5.1)

Здесь и – координаты той точки, в которой находятся напряжения, в главной центральной системе координат, , – осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. При использовании приведенного выше правила знаков для изгибающих моментов формула (5.1) автоматически дает знак напряжений при подстановке координат точки со своим знаком независимо от направления осей. Напомним, что положительный знак напряжений говорит о том, что в рассматриваемой точке действует растягивающее напряжение.

При расчете конструкций нас, как правило, интересуют максимальные напряжения. Точки, в которых они действуют, называются опасными. Для определения положения опасных точек с максимальными (растягивающими или сжимающими) нормальными напряжениями надо построить нейтральную линию и найти точки, наиболее удаленные от нее. Напомним, что нейтральной линией называется линия, на которой нормальные напряжения равны нулю. Для построения нейтральной линии запишем ее уравнение, приравняв напряжения в формуле (5.1) нулю:

. (5.2)

Рис. 5.2. Определение положения опасных точек с максимальными нормальными напряжениями

В уравнении (5.2) y и z – координаты точек, принадлежащих нейтральной линии. Построив по уравнению (5.2) нейтральную линию, проведем прямые, касательные к контуру сечения и параллельные нейтральной линии. Точки касания этих прямых контура сечения и являются опасными точками, в которых действуют максимальные нормальные напряжения. Рис. 5.2 поясняет описанное построение для сечения произвольной формы. Показанная на рис. 5.2 эпюра нормальных напряжений соответствует положительным значениям усилий в уравнении (5.2). Максимальное напряжение действует в точке 1, именно эта точка и будет опасной. Для определения нормальных напряжений в этой точке подставим в формулу (5.1) координаты и этой точки (см. рис. 5.2). Заметим, что при отрицательной (сжимаю­щей) продольной силе максимальные сжимающие напряжения будут по модулю больше растягивающих. В этом случае для хрупких материалов опасными будут обе точки: и точка 1, и точка 1¢ (см. рис. 5.2).

От поперечных сил в сечении стержня возникают касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского в тех случаях, когда она применима (т. е. когда t можно считать равномерно распределенными по ширине сечения, что приемлемо, если Q действует по оси симметрии сечения или сечение является тонкостенным). Как известно из опыта расчета конструкций при плоском поперечном изгибе касательные напряжения от поперечной силы, как правило, существенно меньше нормальных напряжений, поэтому в задачах сложного сопротивления при проверке прочности их чаще всего не учитывают.

Крутящий момент вызывает в сечении касательные напряжения. Формулы для определения этих касательных напряжений зависят от формы поперечного сечения и изучались ранее. Эти формулы для двух наиболее часто применяемых форм сечения – круглого и прямоугольного будут рассмотрены в разд. 5.3 "Общий случай сложного сопротивления".

Чаще всего в реальных конструкциях встречаются два частных случая сложного сопротивления: косой (или пространственный) изгиб и внецентренное растяжение-сжатие. В разд. 5.1 и 5.2 рассматриваются эти виды деформаций, разд. 5.3 описывает проверку прочности конструкций в общем случае сложного сопротивления.

5.1. РАСЧЕТ БАЛКИ, ПОДВЕРЖЕННОЙ КОСОМУ

ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОМУ ИЗГИБУ

Основные определения

Рис. 5.3. Косой изгиб

Рис. 5.4. Пространственный изгиб

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором вся нагрузка на балку действует в одной плоскости, и эта плоскость не совпадает с плоскостями, в которых лежат главные центральные оси инерции сечения (плоскости и на рис. 5.3). При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. При пространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях (рис. 5.4), деформированная ось является пространственной кривой.

При косом или пространственном изгибе в сечении стержня возникают четыре усилия: , , и . Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле, полученной из (5.1) при ,

. (5.3)

Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.

Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:

·  построить эпюры внутренних усилий[2]. Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси , горизонтальная – относительно оси ;

·  выбрать опасные сечения – это сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;

·  в опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;

·  записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.

Определение положения опасных точек в стержне произвольного поперечного сечения производится по схеме, описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в уравнении нейтральной линии

(5.4)

отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения (рис.  5.5). Построив нейтральную линию и эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек. Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1¢ (это можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1, которая находится в линейном напряженном состоянии, записывается так:

(5.5)

Значение зависит от материала, из которого сделана балка, и для хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее или сжимающее) .

Для некоторых форм сечений, а именно, прямоугольника, двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной линии, и опасные точки – это всегда угловые точки сечения. Условие прочности в этих точках записывается следующим образом:

, (5.6)

где и – моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей.

Рис. 5.5. Эпюра нормальных напряжений и перемещение точки О оси балки

Перемещения балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, можно находить любым способом. Обычно это делают методом Максвелла – Мора, перемножая эпюры с помощью правила Верещагина. От вертикальной составляющей нагрузки точки оси балки перемещаются по вертикали (вдоль оси ). Вертикальная составляющая полного прогиба находится по формуле

. (5.7)

Перемещения точек оси балки вдоль оси , вызванные горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично

. (5.8)

Эти перемещения для точки оси балки показаны на рис. 5.5. Полное перемещение (отрезок на рис. 5.5) является геометрической суммой составляющих и . Отметим такую закономерность: при косом изгибе отрезок должен быть в точности перпендикулярен нейтральной линии [2], при пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть близок к . При косом изгибе плоскость, в которой лежит изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных плоскостей осей инерции сечения, и изогнутая ось лежит в той же плоскости.

Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача № 28)

Условие задачи

Балка загружена нагрузкой, показанной на рис. 5.6. Сила  кН действует в вертикальной плоскости,  кН – в горизонтальной, пара сил  кН×м – в плоскости, расположенной под углом к оси .

Требуется:

1) из условия прочности подобрать номер двутавра;

Рис. 5.6. Схема нагрузки на балку

2) найти полное перемещение точки оси балки (см. рис. 5.6);

3) нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением[3].

Решение

Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 5.7, а) и горизонтальную (рис. 5.7, в) составляющие и построим эпюры и (рис. 5.7, б,  г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и , так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение , в котором действуют кН×м и кН×м, и сечение с изгибающими моментами –  кН×м и  кН×м.

Рис. 5.7. Эпюры изгибающих моментов от: а, б – вертикальной составляющей нагрузки; в, г – горизонтальной составляющей нагрузки; д, е – единичной силы

Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6). Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно[4] равным 10. Тогда условие прочности (5.6) в опасных точках сечения примет вид:

,

где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа, величины изгибающих моментов переведены из кН×м в кН×см. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления

см3.

По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см3 и см3 условие прочности в опасных точках сечения

кН/см2

не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см3 и см3:

кН/см2.

Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :

кН/см2.

Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что в рассмотренном примере существенно меньше , напряжения от больше чем напряжения от (или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых .

Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле (5.7) сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора (5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры и (рис. 5.7, б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6].

кН×м3.

Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую перемещения[5], перемножая эпюры и (рис. 5.7, г, е).

кН×м3.

Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси . Сосчитаем найденные составляющие перемещения в "см", разделив их на соответствующие жесткости.

кН×см2,

кН×см2,

см,

см.

Из сравнения величин и видно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.

Рис. 5.8. Эпюра напряжений в опасном сечении С и перемещение точки С

Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном сечении С имеет вид[6]:

или . Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении показаны на рис. 5.8. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1¢ – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.

Найдем угол (см. рис. 5.8) между нейтральной линией и осью :

Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения с учетом их направления. Полное перемещение точки – отрезок на рис. 5.8 равен геометрической сумме и . Угол между полным перемещением и осью

.

Таким образом, угол между полным перемещением и нейтральной линией , что близко к .

5.2. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ

Основные определения

Внецентренное растяжение-сжатие – такой вид деформации, при котором стержень загружен растягивающими и (или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии стержней (рис. 5.9) в стержне возникают три внутренних усилия: продольная сила и два изгибающих момента и . Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае определение усилий производим по недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя правило знаков для изгибающих моментов, описанное во вступительной части разд. 5 "Сложное сопротивление", найдем внутренние усилия, как сумму усилий от каждой силы. Тогда для стержня, показанного на рис. 5.9, согласно методу сечений получим

;

;

.

Здесь – эксцентриситеты точек приложения сил, т. е. расстояния от сил до осей и (всегда положительны), и  – величины сил тоже считаются положительными. Знаки в формулах для и соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов. Поясним их. Относительно оси сила вызывает изгиб стержня выпуклостью справа. Вся область сечения, расположенная справа от оси , в том числе и первый (положительный) квадрант, окажется растянутой, поэтому эта сила создает положительный изгибающий момент. Сила вызывает изгиб стержня относительно оси тоже выпуклостью справа, поэтому знак изгибающего момента от силы опять положительный. При изгибе относительно оси передняя и задняя части сечения имеют напряжения разного знака. Сила вызывает изгиб стержня выпуклостью за осью , т. е. задняя часть сечения (а значит и первый квадрант) окажется растянутой, поэтому от силы имеет знак плюс. Сила вызывает сжатие задней части сечения стержня, первый квадрант окажется сжатым, и знак изгибающего момента от отрицательный[7].