Оптимизация кинематических характеристик механизма подвески колеса легкового автомобиля

УДК 621.01

В. В. ЧЕРНЫХ, О. М. МАКЕЕВ

ОПТИМИЗАЦИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕХАНИЗМА ПОДВЕСКИ КОЛЕСА ЛЕГКОВОГО АВТОМОБИЛЯ

Функциональное назначение подвесок колес легковых автомобилей, как устройств, обеспечивающих связь между кузовом и колесами, определяет специфику кинематических характеристик механизмов, моделирующих эти подвески. В настоящей работе рассматривается один из таких механизмов, который может служить моделью подвесок, например, автомобилей FordFocus, VW Golf V, а также некоторых перспективных автомобилей .

1. Формулировка задачи многокритериальной оптимизации характеристик технической системы и описание метода ее решения

Одним из наиболее известных методов многокритериальной оптимизации характеристик технических систем является PSI-метод (Parameter Space Investigation). Постановка задачи оптимизации и PSI-метод изложены в большом количестве работ, например, в [1-3]. Следуя принятым там обозначениям и понятиям, дадим формулировку этой задачи и вкратце опишем метод,

Значения варьируемых параметров выбираются из отрезков , т. е. вектор параметров есть точка -мерного параллелепипеда . Функциональные ограничения задаются соотношениями . Возможны и односторонние ограничения, т. е. ограничения вида и/или . Вектор критериев - -мерный вектор , причем каждую из функций называемую локальным критерием, нужно либо минимизировать, либо максимизировать. Функции и критерии могут задаваться как явными математическими выражениями от , так и действовать как «черный ящик». Чтобы избежать ситуации, когда значения критериев оказываются недопустимо плохими, вводят критериальные ограничения: для минимизируемых функций , а для максимизируемых . Множество точек параллелепипеда , в которых одновременно выполнены все функциональные и критериальные ограничения называется допустимым множеством. Ставится задача найти в такую точку , в которой каждая из функций достигала своего минимума или максимума, т. е. оптимизировался бы вектор критериев. Необходимо, чтобы , где - множество Парето нигде не улучшаемых с точки зрения вектора критериев точек.

Сутью PSI-метода является исследование параллелепипеда с помощью конечного отрезка некоторой последовательности -мерных векторов, где величина называется числом испытаний. В качестве такой последовательности можно взять, например, равномерно распределенную в параллелепипеде -последовательность, последовательность случайных векторов т. д. Пусть всем функциональным ограничениям удовлетворяют , , членов указанного отрезка. Эти члены дают возможность построить таблицу испытаний размера . В столбце , располагаются сверху вниз все номеров упомянутых членов, а в столбце соответствующие значения локального критерия . Причем, если критерий минимизируется, то , а если максимизируется, то , т. е. лучшие значения критерия располагаются в верхней части таблицы. Работая с таблицей, проектировщик (инженер, конструктор, ученый) может получить множества , и, наконец, оптимальный вектор .

PSI-метод реализован в виде пакета программ MOVI (Multicriteria Optimization and Vector Identification), который функционирует в операционной среде WINDOWS. Имеющийся в MOVI инструментарий – построение и корректировка таблиц, вычерчивание графиков и гистограмм – позволил провести оптимизацию характеристик большого числа технических систем [2].

2. Кинематические характеристики подвесок колес легковых автомобилей

На начальных этапах проектирования легкового автомобиля колесо и его подвеску, как правило, моделируют механизмом с жесткими звеньями [4]. Характер проектирования, функциональное назначение и форма колеса накладывают ряд условий на выбор базовых точек, звеньев и обобщенных координат этого механизма:

-  в качестве стойки берется кузов автомобиля. Все перемещения рассматриваются относительно правой прямоугольной системы координат , связанной с компоновочной сеткой автомобиля и неподвижной относительно кузова; ось направлена вертикально вверх;

-  колесо считается круговым диском, а ось вращения колеса – прямой , проходящей через центр диска и перпендикулярной к нему. Радиус диска принимается за радиус колеса. Обычно точка определяется заданием длины вектора , направленного внутрь автомобиля;

-  под центром пятна контакта колеса с опорной поверхностью понимается точка диска, определяемая следующим образом. Рассмотрим две плоскости. Первая проходит через прямую и перпендикулярна координатной плоскости . Вторая – плоскость, в которой лежит диск. Точка, лежащая на линии пересечения указанных плоскостей ниже точки и на расстоянии от нее, и будет определяемой точкой ;

-  в случае переднего управляемого колеса одним из звеньев механизма является звено, моделирующее рулевой привод;

-  обобщенными координатами механизма являются величины и , - ход колеса - вертикальное перемещение точки , - перемещение рулевого привода, причем , где , - -координаты точки в начальном и текущем состояниях механизма, взятые при (аналогичную индексацию остальных двух координат точки , а также координат других точек мы будем использовать в дальнейшем). Известны ограничения на обобщенные координаты: , . Естественно, что вводится только в случае переднего управляемого колеса;

-  под скоростью изменения какой-либо кинематической характеристики понимается ее производная по , иными словами, скорость изменения кинематической характеристики – аналог скорости.

Большинство кинематических характеристик механизма подвески определяются положениями и перемещениями колеса. Далее мы будем рассматривать механизм подвески заднего неуправляемого колеса, т. е. рулевой привод, а следовательно, , отсутствуют. Примем следующее соглашение: точки и величины, положение и значения которых зависят от , изображаются в начальном состоянии механизма с индексом , а в текущем – без него. Укажем те кинематические характеристики, которые нам в дальнейшем понадобятся:

-  схождение колеса – угол между проекцией оси вращения на координатную плоскость и осью , причем при и в противном случае;

-  развал колеса – угол между осью и ее проекцией на плоскость , причем при и в противном случае;

-  изменение колеи – разность между -координатами точек и ;

-  модуль разности изменений колеи. Эта характеристика определяется следующим образом. Известен ход колеса , где , такой что отрезок является рабочим диапазоном функционирования подвески. Вычисляются изменения колеи при и . Модуль разности этих изменений колеи и является определяемой характеристикой;

-  скорость изменения схождения колеса.

3. Описание механизма подвески и алгоритма расчета его кинематики

В работах [5,6] оптимизировались кинематические характеристики подвесок передних и задних колес легковых автомобилей, моделируемых пространственными рычажными механизмами [7]. Здесь мы рассмотрим пространственный механизм подвески, не являющийся рычажным (см. рис.1).

Рис. 1. Подвеска и структурная схема ее механизма

- оси пружины и амортизатора. - центры шарниров, неподвижных относительно кузова. Колесо, моделируемое круговым диском, ось вращения колеса и пятиугольник образуют твердое тело, соединяемое с кузовом с помощью рычагов и шарнирного соединения . В процессе перемещения подвески центр этого шарнирного соединения остается на неподвижной относительно кузова прямой . Пятиугольник можно считать рычагом, образующим вместе с упомянутыми рычагами четырехрычажный направляющий аппарат подвески. Поэтому подвеску иногда называют четырехрычажной. Центр шарнира принадлежит твердому телу, а - либо рычагу (такое расположение шарнира показано на рисунке), либо этому же твердому телу.

Предполагается, что все указанные на рисунке точки механизма (за исключением , , , , ) - центры сферических шарниров; - центр шарнирного соединения «шар-цилиндр» ( - центр шара). Отсюда вытекает следующее. Пружина и амортизатор не оказывают никакого влияния на кинематику подвески, а структурная схема рассматриваемого механизма имеет тот вид, что показан на рисунке. Звено 1 структурной схемы соответствует упомянутому выше твердому телу, а звенья 2, 3, 4 – рычагам , , . Уберем лишние степени свободы, заменив, например, сферические шарниры на сферические с пальцем, и по универсальной структурной формуле вычислим число степеней свободы механизма [4,7]. В результате получим, что на рис.1 имеем кинематическую цепь с одной степенью свободы. Согласно п.2 в качестве обобщенной координаты следует взять ход колеса .

Исходными данными расчета кинематики являются значения величин , , , , , и координат точек , , , , , , , , . Задачей расчета является определение координат точек , , , , , , и кинематических характеристик, описанных в п.2, при заданном .

Кинематические характеристики легко рассчитываются по точкам , , , и на их определении мы останавливаться не будем. Мы также не будем останавливаться на вычислении координат , поскольку они без труда определяются по точкам , и величине .

Проделав несложные выкладки, получим точку , где

.

Из реального устройства подвески вытекает, что точки , , не лежат на одной прямой. Поэтому в текущем состоянии механизма точки , , однозначно задают положение описанного выше твердого тела. Отсюда следует, что вычисление координат точек и сводится к решению системы уравнений вида

(1)

которая рассматривалась в [8]. В частности, для определения координат коэффициенты системы равны: , , , , , , , , , , , ; величины , , вычисляются на основе исходных данных расчета и полученных координат , , ; критерий выбора одного из двух корней системы устанавливается путем решения системы в начальном состоянии механизма и сравнения вычисленных корней с теми же координатами.

Из функционального назначения подвески вытекает, что -координата точки находится во взаимно однозначном соответствии с ходом - зависимость , , является непрерывной строго возрастающей функцией. Поэтому определена обратная к непрерывная строго возрастающая функция . При любом заданном , , уравнение однозначно разрешимо относительно . Поиск соответствующего корня уравнения можно осуществить, например, известным методом деления отрезка пополам. В частности, беря , , получим , . Ясно, что соответствует . Изложенные соображения приводят к следующему заключению: кинематику механизма достаточно вычислить, беря в качестве обобщенной координаты координату , .

Резюмируя вышесказанное, получим, что задача расчета кинематики механизма четырехрычажной подвески сводится к определению при заданной координат точек , , и . Эту задачу мы и будем решать, применяя метод построения «подозреваемых» точек [6].

Предположим, что при некоторых состояниях механизма координаты точки известны (одно такое состояние всегда есть – начальное состояние). Из всех этих состояний выберем наиболее близкое к состоянию, определяемого заданной . Строго понятие «наиболее близкого состояния» мы здесь не определяем, но интуитивно ясно, что «близкие» состояния механизма определяются близкими -координатами точки . Обозначим как точку выбранного наиболее близкого состояния механизма.

Искомая точка лежит на окружности, образованной пересечением сферы радиуса с центром и плоскости, задаваемой уравнением . Пусть - прямая, проходящая через центр окружности, и перпендикулярная этой плоскости. Нетрудно показать, что точка рассматриваемой окружности, ближайшая к , находится в плоскости, проходящей через и . Поэтому координаты ищем как корень системы уравнений

которая заменой переменных , , приводится к виду

(2)

Система (2) также, как и (1), рассматривалась в [8]. Она не имеет корней (в области действительных чисел) тогда и только тогда, когда , т. е., когда взято такое значение , при котором происходит разрыв механизма. В случае разрыва дальнейший расчет кинематики продолжать не имеет смысла. В случае отсутствия разрыва из двух корней системы выбираем тот, который определяет точку , ближайшую к . Естественно, что нужно искать на дуге окружности, содержащей . Точки этой дуги можно задать углом - углом между векторами и , где - центр окружности, причем , , . В зависимости от направления движения по окружности от точки будем брать или . Зная координаты точек , и задавая , нетрудно вычислить координаты точки , , , , «подозреваемой» на .

Искомая точка лежит на прямой , которая определяется точками и . Ищем пересечение этой прямой со сферой радиуса и центром в точке . Не касаясь деталей, отметим, что поиск точек пересечения можно свести к решению квадратного уравнения. Если дискриминант его отрицателен, то пересечение прямой со сферой отсутствует, и следует изменить значение . В случае, когда это изменение не привело к пересечению, налицо разрыв механизма. Если дискриминант не отрицателен, то получим две точки пересечения. Из двух точек согласно критерию выбора выбираем одну - - точку «подозреваемую» на . Критерий выбора устанавливается путем решения упомянутого квадратного уравнения в начальном состоянии механизма и сравнения его корней с .

Искомая точка должна находиться на расстояниях , , соответственно от , , . Координаты точки , «подозреваемой» на , ищем из условия: расстояния от до , , равны , , . Отсюда получим систему уравнений вида (1). Если эта система не имеет корней, то поступаем точно так, как при расчете координат точки , когда не имеет корней соответствующее квадратное уравнение. Если корни есть, то согласно критерию выбора из них выбираем один - - точку «подозреваемую» на . Критерий выбора устанавливается точно так, как при вышеизложенном расчете координат точки .

Искомая точка должна находиться на расстояниях , , соответственно от , , . Координаты точки , «подозреваемой» на , ищем из условия: расстояния от до , , равны , , . Отсюда снова получим систему вида (1). Используя критерий выбора, из двух корней системы выбираем один - - точку «подозреваемую» на .

Рассмотрим функцию . Искомая точка должна находиться на расстоянии от . Если в предыдущих выкладках в качестве взять - корень уравнения , то «подозреваемые» точки , , , станут искомыми точками , , , . Нетрудно разработать алгоритм решения этого уравнения. При этом следует учитывать, что корень ищется в окрестности нуля; функция может быть определена не во всех точках указанной окрестности (разрыв механизма); функция непрерывна во всех точках, где она определена; безуспешный поиск корня говорит о разрыве механизма.

4. Оптимизация кинематических характеристик механизма

Предположим, что известны значения приведенных в п.3 исходных данных некоторого механизма рассматриваемой нами четырехрычажной подвески – прототипа. Эти значения позволяют вычислить все кинематические характеристики прототипа, описанные в п.2. Кроме описанных, данному типу подвесок свойственна еще одна характеристика – перемещение центра шарнира , т. е. длина отрезка . Известно: чем меньше в процессе функционирования подвески, тем меньше износ шарнира ; чем меньше модуль разности изменений колеи, тем меньше износ шины колеса.

Ставится задача так изменить положение прямой прототипа, чтобы в процессе эксплуатации автомобиля уменьшить по сравнению с прототипом износ шарнира и шины. Эту задачу сформулируем и решим, используя изложенное в п.1.

Вектор варьируемых параметров - , где , [мм], - - координаты точки , , [мм], - - координаты точки . Для прототипа имеем . Параллелепипед варьируемых параметров - , где , . Ясно, что для прототипа прямая параллельна координатной оси , и прототип – центр параллелепипеда .

Вектор критериев - , где , [мм], - модуль разности изменений колеи; , [мм], - перемещение точки при ; , [мм], - перемещение точки при . Все критерии минимизируемые. Для прототипа - . Поскольку ставится задача улучшения прототипа, то вектор критериальных ограничений равен , т. е. рассматриваются только такие , что , , .

Рассматриваются три функции и ограничения на их значения.

При некоторых значениях векторов параметров и больших отклонениях механизма от начального положения возможен его разрыв, т. е. при ходах , «близких» к или механизм, просто, не существует. Поэтому вводится функция , [безразм.], - показатель возможного разрыва и функциональное ограничение , где , . Мы не будем останавливаться на значениях этой функции, отметим лишь, что при имеем разрыв механизма, и провести какие-либо вычисления его характеристик невозможно.

Рассматривается функция , [мин./мм], - скорость изменения схождения колеса в начальном состоянии механизма, т. е. при , и функциональное ограничение , где , . Такое ограничение накладывают требования на управляемость и устойчивость автомобиля.

Функция , [мин.], - развал колеса при . Ограничение , где , накладывают требования на способность автомобиля сопротивляться опрокидыванию.

Прототип удовлетворяет всем функциональным ограничениям, для него имеем , , .

При расчетах применялся программный комплекс MOVI с использованием последовательностей. Было проведено четыре серии испытаний (см. таблицу 1), причем в третьей и четвертой сериях значения варьируемых параметрах брались из параллелепипеда , где Этот параллелепипед был получен на основе анализа таблицы значений допустимых векторов (векторов, принадлежащих ), созданной программным комплексом.

Таблица 1

Выбор оптимального вектора и сравнение его с прототипом

Серии испытаний	Значения минимизируемых критериев
№	Параллелепипед	Число испытаний	Номер оптимального вектора параметров	, [мм]	, [мм]	, [мм]
1		256	47	4,18	1,46	1,20
2		512	415	4,11	1,11	0,85
3		512	415	4,08	0,41	0,69
4		640	415	4,08	0,41	0,69
Прототип	5	9,51	7,24

После проведения третьей серии испытаний число пробных точек было увеличено с 512 до 640. С увеличением числа испытаний результат не изменился. Учитывая это, в качестве оптимального выбрали 415-й вектор, полученный в третьей серии.

Следует отметить, что (2121; -551; 14,8), (2121; 0; 14,8) – координаты точек и прототипа, а (2218,46; -470,14; -15,16), (2121,39; 0; 112,85) - координаты точек и оптимального варианта механизма подвески. Получить оптимальный вариант, исходя из прототипа, перебирая «вручную» координаты и , проводя с помощью соответствующих компьютерных программ последовательные расчеты и оценивая их результаты, довольно трудно, если, вообще, возможно.

5. Замечания

Набор исходных данных, который использовался в п.3, избыточен. Так, прямую , вдоль которой перемещается шарнир , можно задать не шестью величинами , , , , , , а только пятью, например, величинами , , и -координатами точки пресечения прямой с координатной плоскостью . Применяемый подход к выбору исходных данных обусловлен удобством их задания и спецификой проектирования подвески.

В п.3 мы опирались на тот факт, что для реального устройства подвески точки , , не лежат на одной прямой. Предположим, что эти точки лежат на одной прямой . Если не лежит на , то следует просто поменять обозначения: точку обозначить как , а - как ; точно также следует поступить с точками и . Если лежит на , то «подозреваемые» точки и вычисляются как и раньше, а и находятся как точки прямой . В последнем случае угол должен обеспечивать одновременно два равенства:

и

,

что практически невозможно и говорит о том, что число степеней свободы механизма равно нулю. Таким образом, упомянутый факт является для рассматриваемого механизма естественным требованием.

Применяемые в п.3 критерии выбора одного из двух корней системы (1) и квадратного уравнения аналогичны способам сборки механизма. Только способы сборки указываются перед расчетом кинематики и не всегда очевидны, а критерии устанавливаются расчетным методом на основании анализа начального состояния механизма.

В п.4 мы поставили и решили задачу с пятью варьируемыми параметрами, тремя критериями и функциями, определяющими функциональные ограничения. Разработанное для данного механизма подвески программное обеспечение позволяет ставить и решать задачи, в которых до 53-х параметров, до 51-го критерия и до 52-х функций. Как правило, все возможные параметры, критерии и функции одновременно не рассматриваются. Их выбор зависит от проблемы, которую требуется решить проектировщику.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  , Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.:Наука, 19с.

2.  Statnikov R. B., Matusov J. B. Multicriteria Optimization and Engineering. N. Y.: Chapman and Hall, 19p.

3.  Statnikov R., Bordetsky A., Statnikov A. Multicriteria Analysis of Real-Life Engineering Optimization Problems: Statement and Solution // The Fourth WORLD CONGRESS OF NONLINEAR ANALYSTS (WCNA-2004), Orlando, Florida, USA, June 30–July 7.

4.  , Структурный анализ механизмов // Теория механизмов и машин. 2003, №2. С.3-14.

5.  , М. Оптимизация кинематических характеристик подвески колеса легкового автомобиля //Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. №1. С.13-20.

6.  , Оптимизация конструктивных параметров подвески управляемого колеса легкового автомобиля //Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. №3. С.9-15.

7.  Структура и кинематика пространственных рычажных механизмов: Монография. – СПб.: СПГУТД, 2004.-212с.

8.  , О двух подходах к расчету кинематики механизмов // Теория механизмов и машин. 2004. №2. С.70-74.

Поступила в редакцию 15.11.2004