ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО Самарский государственный архитектурно-строительный университет

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Пояснительная записка

к КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ на тему

«Основные законы распределения дискретных случайных величин»

по дисциплине

СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОБРАЗОВАНИИ

СТУДЕНТА ГИП-104 ___ М,____

Подпись, дата

Расшифровка подписи

ВЫПОЛНИЛ:

студент

/ /

Модуль сдан в библиотеку кафедры ПМ и ВТ

Модуль размещен на портале ФИСТ

ПРОВЕРИЛ:

ОЦЕНКА

/ /

Самара 2007 г.
Оглавление

Введение

1

Основные определения

2

Основные законы распределения дискретных случайных величин

3

Текст изучаемого раздела

4

Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя

5

Презентация для лекции

6

Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения

7

Тест для контроля усвоения учебного материала

Заключение

Этапы выполнения курсового проекта

Библиографический список

Введение

Говоря об информационном обществе нельзя не упомянуть о информатизации, в настоящий момент почти каждый второй человек на планете не представляет свою жизнь без коммуникационных технологии и компьютерной техники. В любой сфере государства применяются информационные технологии. Медицина, экономика, промышленность вот короткий перечень направлений информационных технологий в государственном управлении. Информация это такой же драгоценный объект, как и нефть и золото. Важным составляющим информатизации является информационное общество.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Информационное общество кардинальным образом изменяет образовательную систему. Обучение все более приобретает дистанционный характер и распространяется в различных формах на всю жизнь человека. Даже в рамках традиционного очного обучения его технология существенно изменяется.

Появляются различне электронные обучающие модули – комплексы электронных материалов, направленные на повышение эффективности образовательного процесса по отдельным фрагментам учебной дисциплины. Их использование:

·  оживляет материал и позволяет студенту «общаться» с ним;

·  даёт больше интерактивности и стимулирует активное обучение;

·  наглядно демонстрирует некоторые идеи, которые трудно объяснить на лекциях или просто в тексте;

·  позволяет заглянуть внутрь изучаемых процессов посредством различных симуляций;

·  развивает навыки самостоятельного обучения и самоконтроля ;

·  позволяет студентам попробовать невозможные, опасные или дорогие сценарии и ситуации, такие как параллельные миры, радиационное оборудование и прочее.

Специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это вызвано тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Основные определения

Случайная величина - Случайной величиной (СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные числовые значения, причем до опыта невозможно предсказать, какое именно значение она примет.

Более строго, случайная величина – это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий .

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита: Случайные величины могут быть трех типов:

– дискретные;

– непрерывные;

– смешанные (дискретно-непрерывные).

Дискретная случайная величина - Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется функция  

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности

Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. 

Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5

.

Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

,

.

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :

.

Основные законы распределения дискретных случайных величин

1) Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно.

2) Биномиальный закон распределения. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n с вероятностями

3) Закон распределения Пуассона. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

P(X=m)=pqm-1

1. Текст изучаемого раздела

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании [3].

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется функция

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т. е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1) ;

в) F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала (причем ), равна:

;

д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .

Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).

Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5

.

Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.

Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.

Свойства математического ожидания.

а) , где ;

б) ;

в) ;

г) если случайные величины и независимы, то .

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

,

.

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

.

Свойства дисперсии:

а) , где ;

б) ;

в),

где – ковариация двух случайных величин и ;

г) если и некоррелированы, то , тогда .

Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :

.

Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

0

1

Математическое ожидание случайной величины : .

Дисперсия: .

2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения: с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

0

1

2

,,,

,,,

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: , с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

,

где – параметр распределения Пуассона.

При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .

Математическое ожидание .

Дисперсия .

4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

P(X=m)=pqm-1

где 0<p<1, q=1-p, m=1, 2, ...

Ряд геометрического распределения имеет вид:

xi

1

2

3

...

m

...

pi

p

pq

pq2

...

pqm-1

...

Очевидно, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию с первым членом  p и знаменателем q (отсюда и название "геометрическое распределение").

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

(так как есть сумма геометрического ряда при ).

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром p, , а её дисперсия , где q=1-p.

2. Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.

Пример ДСВ – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

!Задание привести пример ДСВ из окружающей жизни

Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины называется функция  

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т. е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1) ;

в) F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала (причем ), равна:

;

д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений

Математическим ожиданием ДСВ называется среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .

Свойства математического ожидания.

а) , где ;

б) ;

в) ;

г) если случайные величины и независимы, то .

Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).

Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5

.

Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.

Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

,

.

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

Свойства дисперсии:

а) , где ;

б) ;

в),

где – ковариация двух случайных величин и ;

г) если и некоррелированы, то , тогда .

Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :

.

Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:

-1

0

1

2

0,1

0,2

0,1

0,6

Найти числовые характеристики СВ: , моду.

Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.

Математическое ожидание:

 Дисперсия:

СКО:

Мода равна 2.

Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

0

1

Математическое ожидание: СВ X: .

Дисперсия: .

2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:

0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

0

1

2

,,,

,,,

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).

Пример. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.

Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:

xi

0

1

2

3

4

pi

0,4096

0,4096

0,1536

0,0256

0,0016

значения pi=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле

!Задание построить многогранник распределения

3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

,

где – параметр распределения Пуассона.

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром  (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).

При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .

Математическое ожидание .

Дисперсия .

Пример В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V0 попадёт ровно n перчинок?

Решение

Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.

В среднем, в ложке должны оказаться перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна В частности, при V = 10 л, л, N = 50 получаем (то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:

    того, что в ложке окажется ноль перчинок, p0 ≈ 0,95123, того, что в ложке окажется одна перчинка, p1 ≈ 0,04756, того, что в ложке окажется две перчинки, p2 ≈ 0,00119, того, что в ложке окажется три перчинки, p3 ≈ 0,00002.

Как видим, pn очень быстро уменьшается с ростом n.

4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где 0 < p < 1, q=1 - p, m =1, 2, ...

Пример геометрического распределения представлен на рисунке

Ряд геометрического распределения имеет вид:

xi

1

2

3

...

m

...

pi

p

pq

pq2

...

pqm-1

...

Очевидно, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию с первым членом  p и знаменателем q (отсюда и название "геометрическое распределение").

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

(так как есть сумма геометрического ряда при ).

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p,

Дисперсия , где q= 1-p.

Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение.  Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

xi

1

2

3

...

m

...

pi

0,6

0,24

0,096

...

0,6·0,4m

...

По формулам

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна

P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,6+0,24+0,096=0,936.

Ответы на вопросы:

1. Какие элементы лекции направлены на обеспечение лучшего усвоения материала аудиторией на уровнях:

·  понимания; - основные определений.

·  опознания; - формулы, графики, таблицы.

·  воспроизведения; - примеры, графики.

·  применения; - примеры.

·  творческой деятельности. – решение примеров.

2. Чем конкретно использование электронных ресурсов повышает эффективность лекции?

Ответ: Электронные ресурсы повышают интерес у студентов, а также помогают преподавателю изложить материал как можно понятней с различными примерами и т. д.

3. Почему презентация способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?

Ответ: Т. к в презентации в сокращенной, и в понятной форме описана суть лекции, презентация более визуально, что задействует не только слухавую но и другие виды памяти

4. Почему используемая компьютерная программа способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?

Ответ: Потому что программный модуль является тестовым вариантом лекции, что способствует оценки знаний и и остаточного контроля знаний.

5. Что даст аудитории и самому лектору использование на лекции фрагментов теста?

Ответ: Фрагменты теста, дадут возможность лектору оценить степень внимания студентов и уяснить кто из них слушает лекцию внимательно, а кто отвлеченно.

3. Презентация для лекции

4. Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения


Цель: Создания теста тренажера
 (Опознавать по основным законам графики и формулы)

1. Студент по виду графика должен опознать характер закона

2. По виду формул указать формулу относящеюся к конкретному закону

3. Для 5 различных случайных параметров и 10 изображений закона,
 среди которых есть 5 отвечающих этим вариантам и он должен провести
 соответствие какому параметру отвечает изображение закона

5. Тест для контроля усвоения учебного материала

1.  Дайте определение понятию Дискретная случайная величина?

.

a.  Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные числовые значения, причем до опыта невозможно предсказать, какое именно значение она примет

b.  Это величина которая может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений

c.  Эта случайная величина, которая может принимать любые возможные значения на открытом, полуоткрытом или закрытом интервале числовой оси

2.  Дисперсией называется?

a.  математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания Цифры числового ключа

b.  значение случайной величины, которое делит таблицу

распределения на две части таким образом, что

вероятность попадания в одну из них равна 0,5

3.  Формула Закона распределения Пуассона?

a. 

b. 

c. 

4.  Чему равны математическое ожидание и дисперсия в законе Бернулли?

a.  M(x) =p; D(x) = p(1-p)

b.  M(x)=npq; D(x)=np

c.  M(x)=np;D(x)=npq

5.  Биномиальный закон распределения. Случайная величина *, распределенная по биномиальному закону, ___________________ с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли?

6.  Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... _________________________________?

7.  Дайте определения Закону распределения Пуассона?

______________________________________________

8.  Дайте определения Закону распределения Бернулли?

___________________________________________

9.  Математическим ожиданием называется?

_________________________________________

Заключение

Создание и разработка всех компонентов электронного обучающего модуля является очень трудоемким процессом, но в то же время очень важной и востребованной деятельностью.

Т. к в информационном обществе обучение все более приобретает дистанционный характер. То для того чтобы дистанционной обучение могло функционировать в полной мере, необходимо огромное количество обработанных с помощью специалистов в области информационных систем и технологий материалов.

Поэтому специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это также вызвано и тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Библиографический список

1

Пиявский поддержки принятия решений в образовании: Учебное пособие / , СГАСУ. – Самара, 2005 – 216 с.

2

Информационные системы и технологии в образовании: Методические указания к курсовому проектированию «Разработка электронного обучающего модуля» / составитель ; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. - Самара, 20с.

3

, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Конспект лекций

для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР / , , БГУИР. – Минск, 2003 – 84 с.

4

ТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ: Курс лекции / ,. – Москва, 1999 – 139 с.

5