Расчет маховика

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет

Кафедра «Теоретическая механика»

РАСЧЕТ МАХОВИКА

Методические указания к курсовому проекту

по теории механизмов и машин

для студентов всех форм обучения

Н. Новгород 2005

Составители: ,

УДК 621.01/075/

Расчет маховика: Методические указания к курсовому проекту по теории механизмов и машин для студентов всех форм обучения / НГТУ; Сост.: , . – Н. Новгород, 2005. с.

Научный редактор

©Нижегородский государственный

технический университет, 2005

 

1.Теоретическая часть

Расчёт маховика заключается в определении его момента инер­ции при заданном коэффициенте неравномерности движения ме­ханиз­ма и средней угловой скорости ведущего звена .

Различают три периода движения механизма: разбег, уста­новив­шееся движение, выбег (рис.1). Часто представляет инте­рес период ус­тановившегося движения, в котором положения, скорости и уско­рения звеньев механизма периодически повто­ряются, поэтому доста­точно изучить его движения в течение цикла.

Для упрощения расчётов механизм заменяют динамиче­ской моделью – звеном, к которому приводятся массы и мо­менты инерции масс всех звеньев, а также силы и моменты сил, дей­ствующие на ме­ха­низм. Это звено называется звеном при­веде­ния. В результате по­лучают схему, изображённую на рис.2, где - приведённый момент инер­ции, и - при­ведённые моменты движу­щих сил и сил сопротивления. Ясно, что , и за­висят от по­ложения меха­низма, которое в свою очередь определяется положе­нием ве­дущего звена, например, координатой при одной степени под­вижности механизма. В большинстве случаев в качестве звена при­ве­дения принимают ведущее звено механизма.

Из условий эквивалентности динамической модели и меха­низма (равенства их кинетических энергий) определяется приведён­ный момент инерции механизма. Этим моментом инерции обла­дает звено приведения в рассматриваемом поло­жении механизма:

, [1]

где - момент инерции самого звена приведения;

- приведённые к звену 1 моменты инерции звеньев, незави -

сящие от положения механизма;

- угловая скорость звена приведения, с-1;

- масса i-го звена (кг) и скорость его центра масс, мс-1;

- момент инерции массы относительно центра тяжести

(кгм2) и угловая скорость i-го звена (с-1).

Удобно выразить угловые и линейные скорости через длины век­торов планов скоростей. Если приведение выполня­ется к ведущему звену ОА, тогда

; ; ,

где - длина вектора скорости центра масс i-го звена, мм;

- угловая скорость i-го звена, с-1;

- длина вектора относительной скорости точек K и N, мм;

- длина звена KN, мм;

- длина вектора скорости точки А, мм;

- истинная длина звена ОА, мм;

- масштаб плана скоростей, мс-1/мм.

Теперь выражение для приведённого момента инерции можно запи­сать следующим образом:

, [2]

Вычислив для ряда последовательных положений механизма за один цикл его движения, строят график (рис.3).

Приведение сил и моментов сил, действующих на механизм, осу­ществляется также при условии эквивалентности динамической мо­дели и механизма, а именно: сумма работ сил и моментов на возможных переме­щениях системы равна работе приведённого момента также на воз­можном перемещении звена приведения. От этого условия переходят к равенству соответствующих мощностей и определяют :

, [3]

где - приведённый момент, приложенный к звену приведения, Нм;

- сила, приложенная к i-ой точке (Н) и скорость этой точки, мс-1;

- угол между направлениями силы и скорости ;

- момент, приложенный к i-му звену, Нм;

- угловая скорость звена приведения, с-1.

Приведённые моменты вычисляют методом, изложенным в си­ло­вом анализе. При этом силы инерции и моменты сил инерции звеньев учитывать не нужно, так как рассматривается безмассовый скелет меха­низма со всеми приложенными к нему нагрузками. Массы звеньев уже уч­тены при определении приведённого момента инерции .

Приведённым моментом может быть как момент сил сопро­тив­ления, так и движущий момент. Если рассматривается рабочая ма­шина, то для упрощения расчётов часто принимают движущий момент постоянным, а приведённый момент сопротивления находится выше­указанным способом. При расчёте машины-двигателя вычисляется приве­дённый движущий момент, а момент сопротивления для простоты может быть принят постоянным.

Вычислив для ряда последовательных положений механизма за один цикл его движения, строят график (рис.4).

Теперь для расчётов можно использовать схему механизма, изо­бражённую на рис.2. Связь между угловой скоростью звена приведе­ния, его моментом инерции и кинетической энергией выражается из­вестной зависимостью

, [4]

отсюда может быть найдена скорость звена приведения ωП:

, [5].

Кинетическая энергия механизма Т не остаётся постоянной в тече­ние цикла по причине несоответствия законов изменения движу­щего мо­мента и момента сил сопротивления , а также вследст­вие непостоянства приведённого момента инерции . По­этому ско­рость звена приведения также будет постоянной.

Энергия, подводимая к механизму и потребляемая им, в каждый момент времени не равны между собой (рис.8). Их равенство возможно лишь при установившемся движении за время цикла (внутри цикла ра­вен­ства нет).

Для исследования неравномерности движения звена приведения определяется «избыточная» энергия механизма в течение цикла его дви­жения, которая представляет собой разность работ движущих сил и сил

сопротивления. С этой целью графически интегрируют зависимость и строят диаграмму работ приведённого момента (рис.5).

Если рассматривается рабочая машина (); тогда для упро­щения расчётов следует принять величину движущего момента посто­ян­ной (рис.6). Диаграмма работы движущего момента изобра­зится прямой линией (рис.7). Это не особенно противоречит действи­тельности, так как в идеальном случае скорость звена приведения должна быть по­стоянной, что требует постоянства движущего момента , поскольку . В ином случае необходимо иметь закон изме­нения движу­щего момента за цикл.

Вследствие того, что приращение энергии за цикл движения меха­низма не происходит, работа сил сопротивления должна быть равна работе движущих сил (рис.8). Это требует равенства площадей графи­ков и (рис.4 и 6) в пределах цикла , что в свою оче­редь требует равенства ординат графиков работ и в конце цикла. «Избыточная» энергия (заштрихованная площадь на рис.8) пре­вращается в кинетическую энергию механизма и изменяет скорость его движения (рис.9). Теперь очевидно, что вместо «избыточной» ра­боты ∆ можно подставить изменение кинетической энергии механизма ∆ (рис.9), кото­рую для удобства вычислений делят на две части: 1) ки­нетическую энер­гию звеньев, 2) изменение кинетической энергии ма­ховика ∆ :

∆Т = ∆ТМ+ТЗ,

откуда ∆ТМ = ∆Т-ТЗ.

Следует иметь в виду, что диаграмма, изображённая на рис.9, с нача­лом координат в точке О1 показывает не полное изменение энергии механизма, так как при вычислении работ внешних сил за цикл не учи­ты­вается начальное значение кинетической энергии , которое опре­деля­ется начальными условиями, а они, как правило, неизвестны. Пол­ная энергия механизма изображалась бы тем же графиком, но с началом коор­динат в точке O, то есть ось абсцисс сместилась бы на величину на­чаль­ного значения кинетической энергии. Далее будет показано, что ве­личину начальной энергии для расчёта маховика знать не требуется.

Существуют три метода расчёта маховика.

2. Виттенбауэра

Ввиду того, что угловая скорость звена приведения зависит от его ки­нетической энергии и приведённого момента инерции , ока­зывается удобным построить диаграмму энергомасс , исключив па­раметр из выражений и , например, графически, как по­ка­зано на рис.10. Очевидно, что диаграмма энер­гомасс всегда будет замкну­той кривой для одного цикла движения механизма, а её характер не зави­сит от величины начального значе­ния энергии . Из (рис.10) следует, что произвольной точке диа­граммы энергомасс соответствует определён­ный угол наклона пря­мой, проведённой из начала координат в эту точку:

, [6]

где и - масштабы осей моментов инерции и кинетических

энергий.

Так как , то можно записать:

или ,

то есть каждому углу наклона прямой, соединяющей произвольную точку диаграммы с началом координат, соответствует определённая уг­ловая скорость звена приведения или каждому значению угловой скоро­сти звена приведения соответствует определённый угол наклона пря­мой, проведённой из начала координат через соответствующую точку диа­граммы.

Максимальному и минимальному углам наклона касательных соот­ветствуют максимальная и минимальная угловые скорости звена при­ведения:

, [7]

Такие скорости возникают в механизме без маховика. Коэффици­ент в этом случае не равен заданному.

Можно найти угловые скорости и через заданный коэф­фициент неравномерности движения и определить соответст­вую­щие углы наклона касательных к диаграмме «энергомасс».

Так как и ;

то . [8]

Возводя в квадрат и и пренебрегая величиной , найдём:

. [9]

Теперь определим углы и :

[10]

Точка пересечения касательных определит новое начало коорди­нат, которое будет соответствовать диаграмме «энергомасс» механизма с заданным коэффициентом неравномерности при средней угловой ско­рости (рис.11). Но для этого приведённый момент инерции дол­жен отличаться от предыдущего значения на величину , а кинетиче­ская энер­гия при этом изменится на величину .

Таким образом, чтобы удовлетворить заданной неравномерности движения при определенной средней скорости, необходимо увеличить момент инерции звена приведения на величину . Это достигается ус­тановкой маховика с моментом инерции , который можно найти по диа­грамме (рис.11):

.

Часто возникает затруднение в определении отрезка , так как начало координат новой системы находится вне чертежа вследствие ма­лой разницы углов и . Поэтому пользуются следующим спосо­бом. Выразив через и :

и подставив вместо , получим

[11]

Из рис.11 видно, что ; , поэтому

,

но , тогда момент инерции маховика

. [12]

Следует заметить, что – изменение кинетической энер­гии маховика, поэтому выражение для момента инерции маховика при­мет вид:

.

Из вышеуказанного ясно, что положение оси никак не влияет на величину момента инерции маховика , поэтому начальное значе­ние кинетической энергии вычислять не требуется. То есть использу­ется диаграмма «энергомасс» с началом координат в точке О1 (рис.10).

При больших значениях углов и пересечение каса­тель­ных к диаграмме «энергомасс» с осью ординат происходит вне чер­тежа. В этом случае для определения величины отрезка на оси орди­нат используются известные углы наклона касательных к диаграмме «энергомасс». Этот способ показан в примере расчёта.

3. Гутьяра

Определяется максимальное изменение кинетической энергии махо­вика ∆ТМ, а затем по формуле вычисляется его момент инерции.

Максимальное изменение кинетической энергии маховика:

, [13]

где и - максимальное и минимальное значения кинетиче­ской энергии маховика, определяемые по формулам

, [14]

, [15]

где - «избыточная» энергия, подводимая к безмассовому механизму;

- максимальная и минимальная кинетические энергии звень -

ев механизма.

определяется графически:

- строится диаграмма «избыточной» энергии (рис.12);

- под диаграммой строится диаграмма приведённого момента

инерции YП (φ1);

- из избыточной энергии механизма для каждого положения вычитается

энергия звеньев, соответствующая максимальной угловой скорости

звена приведения, затем процедура повторяется для минимальной ско-

рости;

- строятся диаграммы максимального и минимального изменений кине -

тической энергии маховика за цикл;

- по диаграммам и находится максимальное

изменение энергии маховика за цикл .

Вычисление удобно производить следующим образом. Изменение кинетической энергии механизма определяется как произведение мас­штаба диаграммы кинетической энергии на ординату графика . Анало­гично находится значение приведённого момента инерции:

;

Максимальная и минимальная величина кинетической энергии махо­вика для каждого положения вычисляется, согласно изложенному выше, как разность «избыточной» энергии и кинетической энергии звеньев: ;

;

где ; .

Вычислив максимальные и минимальные значения кинетических энер­гий маховика для ряда последовательных положений механизма, строят диаграммы и , по которым находится максималь­ное изменение кинетической энергии маховика в течение цикла:

.

Момент инерции маховика находится по приведённой выше зависимости:

. [16]

4. Мерцалова и

При достаточно малом значении коэффициента неравномерности квадраты угловых скоростей и отличаются незначительно, поэтому невелика разница энергий и . В связи с этим можно принять (допустив некоторую погрешность) среднее значение кинетической энергии маховика вместо и .

Выражение для кинетической энергии маховика примет вид:

. [17]

Вычисление осуществляется вышеизложенным методом (рис.13):

,

где ; .

По известному значению момента инерции маховика можно найти его размеры. Если форму маховика принять в виде кольца (рис.14), у которого диаметр значительно больше толщины , тогда

; [18]

где – масса маховика, определяемая известным образом:

. [19]

Здесь – плотность материала, и – размеры сечения обода маховика.

5. Пример расчёта

Определить размеры маховика для механизма, изображённого на рис.15. Коэффициент неравномерности движения , средняя угло­вая скорость ведущего звена с-1.

Независимо от применяемого метода расчёта маховика сначала требуется построить диаграммы приведённого момента инерции и при­ведённого момента сопротивления в функции угла поворота кри­вошипа . В примере вычисление производится только для 6-го положе­ния механизма.

5.1. Построение диаграммы приведённого момента сопротивления.

Для построения указанной диаграммы используем метод возмож­ных перемещений. Отличие в определении приведённого момента сопро­тивления от определения уравновешивающего момента состоит в том, что по вышеизложенным причинам не учитываются инерционные нагрузки. Приведённый момент сопротивления вычисляется по известной зависимости (3):

,

где - проекции скоростей на направления сил (рис.16).

Так как в нашем примере нет моментов сил, то формула для приве­дённого момента сопротивления примет вид:

.

Вычислим приведённый момент сопротивления для 6-го положе­ния механизма:

Данные для расчёта и полученные результаты сводятся в таблицу 1:

Таблица 1.

К определению приведённого момента сопротивлений.

Поло- жения меха- низма	ВЕЛИЧИНЫ
, Н	, мм	, Н	, мм	, Н	, мм	, Н	, мм	, Нм
1
2
.
.
6	25	135	78,4	21	28,4	108	117,5	14	2,38
.
.
12

По данным таблицы строится диаграмма приведённого момента сопротивления (рис.17).

Графическим интегрированием диаграммы приведённого момента сопротивлений получают диаграмму работ сил сопротивлений (рис.18).

На той же диаграмме (рис.18) строится график работ движущих сил. Для этого достаточно соединить начало координат с точкой графика работ сил сопротивлений, соответствующей концу цикла.

Вычитая ординаты диаграммы работ сил сопротивлений и движу­щих сил, получают диаграмму «избыточной» энергии механизма (рис.19).

5.2. Построение диаграммы приведённого момента инерции.

Величина приведённого момента инерции для каждого положения механизма вычисляется по зависимости (2):

.

Кривошип, как правило, уравновешен путём установки противо­веса на продолжении звена АО. Масса звена ОА кг. Это звено мо­жет быть уравновешено, например, массой такой же величины, располо­женной на расстоянии, равном АО/2, тогда момент инерции звена 1- будет равен сумме моментов инерции кривошипа ОА – и противо­веса :

кг·мм2.

Данные для расчёта в 6-ом положении механизма:

; ; ; ;

; ; ; ; - век­тор скорости ц. т. звена 2; ; ; (рис.16).

, так как масса ползуна считается сосредоточенной в точке А.

;

.

Для звеньев 3 и 4 векторам соответствуют векторы и ; ; , поэтому

; .

Подставив в зав-ть для полученные числовые значения величин и найдём приведённый момент инерции для 6-го положения механизма:

Аналогично определяются приведённые моменты инерции для дру­гих положений механизма. Для удобства вычислений составляется таблица.

Таблица 2.

К определению приведённого момента инерции.

Параметры	Положение механизма
1	.	.	.	6	.	.	.	12
кг			3
,мм							130
кг			12
,мм							42
, кг·м2			0,145
, мм							128
, мм			330
кг							8
,мм			134
, кг·м2							0,0384
, мм			50
, мм							240
кг			4
, мм							135
, кг·м2			0,2

По вычисленным значениям приведённых моментов инерции строится диаграмма приведённого момента инерции механизма (рис.20). На этом заканчивается общая для всех методов часть расчёта.

5.3. Определение момента инерции маховика методом

Ф. Виттенбауэра

Согласно изложенному ранее, строится диаграмма энергомасс графическим исключением параметра из диаграмм и (рис.21).

Находим начало координат системы, в которой диаграмма энергомасс соответствует механизму с коэффициентом неравномерности

при средней угловой скорости с-1. Для этого определяем максимальное и минимальное значения углов наклона касательных к диа­грамме энергомасс:

,

.

Удобнее пользоваться тангенсами углов, а не сами углами и , так как упрощается проведение касательных.

Точка пересечения касательных является искомым началом коорди­нат. Если начало координат окажется вне чертежа, то используют отрезок , отсекаемый касательными на оси кинетических энергий. В рассматри­ваемом примере точка находится вне чертежа (рис.21). Из рис.22 ясно, как определяется длина отрезка . Для нашего примера (рис.21) имеем:

, но , поэтому

,

мм;

мм;

находится измерением;

мм.

Момент инерции маховика

кгм2.

5.4. Определение момента инерции маховика методом

Одну под другой строят диаграммы и (рис.23). Вычи­тая из «избыточной» энергии механизма максимальную и мини­

мальную энергию звеньев, получают две диаграммы кинетических энергий маховика и (рис.23).

Значения ординат диаграмм и для 6-го по­ложения механизма определяются следующим образом:

;

.

Здесь ;

;

;

1/с2, 1/с2.

По этим двум диаграммам определяют максимальное изменение кинети­ческой энергии маховика за цикл :

Нм.

Вычисляем момент инерции маховика:

кгм2.

5.5. Определение момента инерции маховика методом

и

Как и в предыдущем случае, строятся диаграммы и . Из «избыточной» энергии механизма вычитается средняя энергия звеньев и строится диаграмма изменения кинетической энергии маховика за цикл (рич.23).

Для 6-го положения механизма ордината диаграмм определя­ется следующим образом:

Нм.

Здесь .

Максимальное изменение кинетической энергии маховика

Нм.

Момент инерции маховика определяется известным образом:

кгм2.

5.6. Определение размера маховика.

Средний диаметр обода маховика (рис.14) определяется из зависимо­сти момента инерции:

.

Задавшись сечением обода маховика × и плотностью материала , определяют средний диаметр обода.

Пусть мм, м, кг/м3, тогда . При­мем кгм2 – среднее значение по трём методам определения мо­мента инерции маховика и найдём средний диаметр обода:

м = мм.

ЛИТЕРАТУРА

Теория механизмов и механика машин: Учеб. для вузов/ Под ред. . – М.: Высш. шк., 2003. Динамика механизмов : Учеб. пособие / Под ред. . – М.: Изд-во МГТУ, 2001. , Тимофеев проектирование по теории механизмов и механике машин. – М.: Высш. шк. , 2002.