11.Постулаты Бора и их опытное подтверждение. Опыты Франка и Герца.
Несостоятельность классической модели атома:
1.Не объясняет долговечность атома
По классической модели излучение атома происходит непрерывно, электрон движется с ускорением a=V2/r
Атом (?) излучает электромагнитные волны, а значит атом должен терять энергию
E = - kZe2/2r
В таком случае радиус орбиты должен непрерывно убывать, в конце концов электрон должен упасть а атом прекратить своё существование.
Однако атомы живут долго, за исключением некоторых изотопов.
2.Объяснение спектра излучения
Орбита уменьшается, частота ω увеличивается
Спектр должен быть сплошным (радуга, а. ч.т)
А эксперимент показывает, что спектр линейчатый.
Постулаты Бора. (1913)
Бор отказался от классического подхода к излучению.
Он ввел постулаты без теоретического обоснования.
1.Постулат о стационарных состояниях.
В стационарном состоянии атом не излучает энергию
E стационарного состояния представляет дискретный ряд значений E1, E2, E3… En (именно такие, а не промежуточные).
Энергия электрона в атоме квантуется (принимает только дискретные значения)
2.Правило частот Бора.
Излучение атома происходит только при переходе с одного стационарного состояния в другое
Отсюда υ = (Ej - Ei)/h
Добавление:
3.Правило квантования круговых орбит.
Стационарная орбита – та, у которой момент импульса равен произведению n и h с чертой
mVr = nћ для водорода и водородоподобных атомов (атомов у кот. Удалены все электроны)
ћ = h/2Pi = 1,05 *Дж с n = 1,2,3…
mV – импульс электрона
mVr – момент импульса
Опыты Франка и Герца. (1913)
Термо-электронная эмиссия.
Сетка положительно заряжена.
Подается напряжение (- + - +)
Катод-сетка: ускоряющее напряжение в промежуток
Сетка – Анод: наоборот тормозящее напряжение о,5 В
Атом ртути 80 Hg 200
Потенциал ионизации – разность потенциалов которую должен пройти сторонний электрон чтобы при соударении с атомом выбить из него электрон. U эВ
Частота излучения та, с которой колеблется электрон.
Частота вращения = частоте излуч.
Вольтамперная характеристика из опытов Франка и Герца :
1е возрастание: ток растет тк растет U чем больше потенциал тем больше электронов.
1й спад: электрон сталкивается с электроном ртути, при этом столкновении до U=4,9 соударения упругие, начиная с 4,9 соударения неупругие (у сетки)
Далее увеличиваем U, электрон отдавший энергию находится в ускор. Поле, поэтому преодолевает напряжение, график снова растет
И т. д.
Передача энергии электроном не всегда происходит, тк атом в любом количестве энергию у электрона не принимает.
При передаче энергии есть свечение.
12.Модель атома водорода по Бору. Радиусы стационарных орбит. Энергия стационарных состояний атома, частота излучения. Недостатки теории Бора.
1.Эксперементальные факты, объясняемые теорией Бора:
а - размер атома водорода r=53 пм
б - энергия ионизации атома водорода Eи = 13,6 эв
Eиониз – энергия бомбардирующего электрона достаточная для того чтобы при соударении выбить электрон из атома.
Потенциал ионизации Uи – разность потенциалов которую должен пройти бомбардирующий электрон чтобы приобрести энергию достаточную для ионизации атома.
Eи = eUи
в - закономерность линейчатого спектра.
1/λ = R(1/ni2-1/nj2)
2. Радиусы орбит атомов.
{ ke2/r2 = mV2/r классическая модель
mVr = nћ } – квантовая модель
k = 1/4Piε0 n=1,2,3…
момент импульса кратен ћ
kme2 r3/r2 = mV2m r3/r = m2V2 r2
m2V2 r2 = n2ћ2
kme2 r = n2ћ2
rn = n2ћ2/kme2 - закон квантования
n=1 r1= ћ2/kme2
r1=(1,05*1,05*10-68)/(9*109*9*10-31*2,56*10-38) = 53*10-12 м
[r]=дж2*с2*Ф/м*кг*кл2 = м
Кл/Ф = В*кл = дж
n2=2 r2=4r1
n3=3 r3=9r1
rn=nr1
(3. Скорость электрона
признак водорода E=1 ?
Vn= ke2/ nћ
V1= ke2/ ћ : n=1
V1= (9*109*2,56*10-38)/(1,05*10-34) = 2,2*106 (м/с)
[V] = м*кл2/Ф*Дж*с = м/с
Vn = V1 / n)
4. Энергия электрона в атоме
E = - ke2/ 2r
E = T + U
E = - ke2km e2/2n2 ћ 2 = - k2me4/2n2 ћ 2
En = - k2me4/2n2 ћ 2
n = 1:
E1 = (81*1018*9,1*10-31*2,56*2,56*10-76)/(2*1,05*1,05*10-68*1,6*10-15) = - 13,6 эв
[E] = м2*кг*кг4 / Ф2 * Дж2 * с2 = Дж
En = E(бесконечности) - E1
E(бесконечности) = 0
En = E1 / n2 n=1,2,3… - главное квантовое число
5. Закономерность линейчатых спектров.
1/λ = R(1/ni2-1/nj2)
По Бору:
hυ = Ej – Ei = - k2me4/2nj2 ћ 2 – (- k2me4/2ni2 ћ 2 ) = k2me4/2 ћ 2 (1/ ni2 – 1/nj2)
hυ = hC/ λ (?)
k2me4/2hCћ 2 = (81*1018*9,110-31*2,56*2,56*10-76)/( 2*1,05*1,05*10-68*6,62*10-34*3*1081) = 1,1*107 м-1
6. Спектр атома водорода.
диаграмма уровней энергии в атоме водорода
E первого возбуждения = 10,2 эв
U первого возбуждения = 10,2 эв
(7. Магнитные моменты.
Гиромагнитное отношение
L = m [Vr] - вектор – механический момент
L = mVr
Pm = магнитный момент
Pm = JS = eVPir2/2Pir = eVr/2
J = eV/2Pir
Pm / L = eVr/2mVr = e/2m – гиромагнитное отношение
Pm = - Le/2m L= nћ
Pm = - e nћ / 2m
eћ / 2m = μБ = 0,9*10-23 – магнетон Бора – минимальная порция магнитного момента в природе
Pm = n μБ
8. Водородные ионы.
z=1
{ kze2/r2 = mV2/r классическая модель
mVr = nћ } – квантовая модель
r = n2ћ2 / kmze2
V = kze2 / nћ
En = k2mz2e4 / 2 n2ћ2
1/λ = z2R(1/ni2-1/nj2) )
Недостатки:
Решила много вопросов, объяснила эксперименты и тд.
Позже начали находить недостатки:
1)непоследовательность
{mVr = nћ - квантовое товое положение
kze2/r2 = mV2/r } классическое положение
теория не могла долго существовать и была переходной.
· Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
· Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева.
· Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.
13.Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля и её экспериментальное подтверждение. Опыт Дэвиссона и Джермера.
Гипотеза Луи де Бройля. 1923г.
Утвердилось учение о дуализме. ЛдБ предположил что дуализм присущ всей материи – электронам, протонам, нейтронам...
есть частица, перемещающаяся со скоростью V значит она обладает импульсом P и ее движение характеризует волна. О природе волн де Бройля было много споров. Это математический аппарат для описания движения частиц.
λ=h/p ω= ε/ħ
если частица свободная, нерелятивистская, T<<m0C2
1)cвободная U(x)=0 Tкин=p2/2m
λ=h/sqr(2mTкин) p=sqr(2mTкин)
2)cвязанная (в силовом поле)
U(x)!=0
E=Tкин+U(x)
Tкин=E-U(x)
λ=h/sqr(2m(E-U(x)))
Если частица релетявистская, T~m0C2 - энергия покоя
λ=h/p
E2=E02+p2C2
p2C2 = E2 – E02
E= mC2 E0 = m0C2
p2 = (E - E0)(E + E0)/C2=T(2m0C2+T)/ C2
λ=hC/sqr(T(T+2m0C2))
чуваки эту ляляку встретили негативно, только эксперименты убедили их:
определить λ шарика m=1г движущегося со скоростью V=1см/с
λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/м/с)=6,62м
длина волны настолько мало что отсутствуют методы определения такой длины волны
определим λ для электрона в атоме водорода, V=106 м/с
λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/(9,1м/с) ~ 0,7 нм – частота рентгеновского излучения
для рентгеновских лучей наблюдается дифрагция на монокристаллах.
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыты Дэвисона и Джермера. .
Ускоренные электроны пройдя диафрагму (чтобы пучок был узкий) направляются на монокристалл Ni, происходит отражение (угол отражения = углу падения). Далее попадают в цилиндр Фарадея и на землю.
Оказывается что макс ток будет при условии Вульфа-Бреггов:
2dSinφ=mλ m=1,2,3...
максимум порядка > 1 можно наблюдать :
1)поворачивая кристалл (меняя угол фи)
2)меняя Uускор (ускоренная? Разность потенциалов – меняет импульс)
T = eUуск
λ = h/sqr(2meU)
схема опыта Тартаковского 1928
(катод, сетка, диафрагма, фольга-поликристалл цилиндр фарадея)
2dSinφ=mλ
на экране наблюдаются дифрагционные кольца. Максимум соответствует условию Вульфа-Бреггов.
Тогда возникает вопрос. Может быть такую картину дают не электроны а рентгеновские лучи? Создали магнитное поле, которое бы нейтрализовала рентген. - диффрагция не исчезла.
Электроны обладают волновыми свойствами.
Обладают ли другие частицы волновыми свойствами?
В лаборатории Штерна 1932 г. На атомах водорода и гелия поставлены опыты, доказавшие наличие волновых свойств.
В 1940 опыт на нейтронах.
Обладает ли волновыми свойствами каждая частица или только их совокупность?
1949 г. Поставлен опыт Фабрикана, Бибермана, Сушкина.
Через установку проходило буквально по 1му электрону и присутствовала дифрагционная картина.
Каждой частице присущи волновые свойства.
Нельзя отождествлять частицу и волну. Корпускулярность природы электрона (фотоэффект).
14.Общий свойства волн. Плоская монохроматическая волна и пакет волн. Фазовая и групповая скорости волнового пакета. Дисперсия волн.
1)Волновое уравнение
V – фазовая скорость
d2S/dx2 = d2S/V2dt2 волновое уравнение в одномерном случае
d2S/dx2 + d2S/dy2 + d2S/dz2 = d2S/V2dt2 3мерный случай
d2S/dx2 + d2S/dy2 + d2S/dz2 = ∆S – оператор лапласса
∆S = d2S/V2dt2
Решение волнового уравнения.
2)Плоская монохроматическая волна.
(Фронт волны – плоскость, один цвет, ω=const, A=const)
S=ACos ω(t-(x/V))=ACos(ωt – (2Pix/TV))
ω = 2Pi/T VT= λ 2Pi/ λ = k
S=ACos(ωt –kx)
Смещение от положения равновесия точки с координатой x в момент времени t
3-хмерный случай:
S=ACos(ωt –kr) (k, r - вект)
k – волновой вектор
|k| = 2Pi/ λ
Смещение от положения равновесия точки характеризующейся вектором r в момент времени t
3)Принцип суперпозиции (наложения) волн.
Если в среде распространяется несколько волн, они перемещаются независимо друг от друга.
S = C1S1 + C2S2
S= ∑CnSn
Среда линейная (свойства не меняются под воздействием распространяющихся волн)
Волны взаимно независимы.
Смещение – геометрическая сумма смещений, возникших в отдельных волновых процессах.
4)Волновой пакет
- Суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающая определенный объем в пространстве.
Волновой пакет:
Везде кроме ∆x A=0
Плоская монохроматическая волна – идеализированный объект:
В реальности мы имеем дело с волновыми пакетами.
S1=A0Cos(ωt –kx)
S2= A0Cos((ω+dω)t –(k+dk)x)
dω << ω
dk << k
S = S1 + S2 = 2A0Cos ((dωt – dkx)/2)Cos(ωt –kx)
Здесь 2A0Cos ((dωt – dkx)/2) – амплитуда (зависит от времени и координаты); Cos(ωt –kx) – фаза.
Это уже не гармонический волновой процесс. Если волновых процессов больше, тем уже волновой пакет.
Фазовая скорость V: ωt –kx = const
V=dx/dt=ω/k
Групповая скорость U (скорость перемещения центра энергии группы волн) :
dωt – xdk = const
U = dx/dt = dω/dk
Фазовая скорость не переносит энергию, групповая переносит.
U = dω/dk = d(Vk)/dk = V+ (kdV/dk) = VkdVd λ/d λ dk
λ = 2Pid λ/kdk = - 2Pi/k2
U = V + k (- 2Pi/k2) (dV/d λ) = V – (λdV/d λ) = U
Если dV/d λ > 0 тогда U<V нормальная дисперсия
Если dV/d λ < 0 то U>V аномальная дисперсия.
Если dV/d λ=0 то среда не дисперсирующая
Волновой пакет может перемещаться только в недисперсирующей среде (вакуум?)
В диспергирующей среде пакет расплывается.
Дисперсия волн - зависимость фазовой скорости гармонических волн от их частоты. Д. определяется физическими свойствами той среды, в которой распространяются волны. Например, в вакууме электромагнитные волны распространяются без дисперсии, в вещественной же среде, даже в такой разреженной, как ионосфера Земли, возникает Д. волн. Ультразвуковые волны также обнаруживают дисперсию.
волн приводит к искажению формы сигналов при распространении их в среде. Это объясняется тем, что гармонические волны разных частот, на которые может быть разложен сигнал, распространяются с различной скоростью. Д. света при его распространении в прозрачной призме приводит к разложению белого света.
15.Волны де Бройля и их свойства: фазовая и групповая скорости, дисперсия, объяснение условия квантования электронных орбит с помощью волн де Бройля. Волновой пакет и частица.
1)Так как волны де Бройля – волновые процессы, то все характеристики присущие волнам, можно применить к волнам де Бройля.
A, ω, ν, фаза, пространственные координаты x, y,z, и время t.
Свойства отличаются от реальных волн:
2)Фазовая скорость – скорость распределения в пространстве фазы волны.
V~C для релятивистской частицы.
Vфаз = ω / k
ω - угловая частота, k - волновое число
= 2Pi ν λ/2Pi = ν λh/h = h ν / p
Т. к. по де Бройлю λ = h/p, λ/ h=p
h ν = ε – энергия фотона или кванта
Vф = E/p = mC2/mV = С2/V V<C
Vф > C
СТО – специальная теория относительности. Отличительное свойство, нехарактерное для других волн.
3) Групповая скорость – равно скорости? с которой распространяются в пространстве группы волн.
Групповая скорость Vгр=U – скорость амплитуды группы волн.
Vгр = U = d(ωħ)/d(ħk) = dE/dP
E2 = E02 + p2C2
U = d(sqr(E02 + p2C2))/dp = 2pC2/2sqr(E02 + p2C2)= pC2/E = pC2/mC2= p/m = mV/m = Vчаст=U
U=Vчаст
=> любую частицу можно представить в виде волнового пакета.
4)Дисперсия волн де Бройля
Дисперсия – зависимость фазовой скорости от длины волны.
Vф=f(λ)
В вакууме все реальные волны с различными длинами волн распространяются с одинаковой скоростью, те в вакууме нет дисперсии. ε = 1 (в вакууме.)
Среды с ε > 1 диспергируют.
Рассмотрим волны де Бройля:
Vф = ω / k = E/p = (E02 + p2C2)/p = sqr((E02 + p2C2)/p2) = sqr((E0/ p2)+ C2)
λ =h/p => p = h/ λ
Vфаз = sqr((E02 λ2 / h2)+ C2) = f (λ) - не зависит от среды
волн де Бройля наблюдается дисперсия даже в вакууме.
5)Волны де Бройля и второй постулат Бора. (правило квантования орбит)
Le (момент импульса орбит) = mVr = nħ – правило квантования орбит
ħ = h/2Pi, n=1,2,3… ,бесконечность - квантовое число
mVr = nh/2Pi
2PirmV = nh mV=p
2Pirh/ λ = nh
2Pir = n λ
C точки зрения гипотезы де Бройля 2й постулат Бора:
стац. Орбитами электрона в атоме называются такие орбиты на длине которых укладывается целое число волн де бройля.
n=4
Еще см. №14
